Аксиоматика Александрова

Аксиоматика Александрова — система аксиом Евклидовой геометрии, предложенная Александром Даниловичем Александровым. Эта аксиоматика частично использовалась в учебнике по геометрии написанного Александровым совместно с Алексеем Леонидовичем Вернером и Валерием Идельевичем Рыжиком.

Аксиомы

Основные объекты

• точки; обозначаются, обычно: A, B, и т. п.
• отрезки; обозначаются, обычно: a, b, и т. п.

Основные отношения

• Точка служит концом отрезка;
• Точка лежит на отрезке (или, как ещё говорят, лежит внутри отрезка);
• Два отрезка равны друг другу (или, что равносильно, один отрезок равен другому).
• Отрезок $a$ содержится в отрезке $b$ (в записи: $a\subset b$), если все его точки являются также точками отрезка $b$.
• Отрезки $a$, $b$ образуют отрезок c (в записи: $a\cup b=c$), если они содержатся в $c$ и у $c$ нет точек, не принадлежащих им.
• Отрезок $a$ отложен вдоль отрезка $b$ от его конца $A$, если у этих отрезков есть общий конец $A$ и один содержится в другом.
• Два отрезка пересекаются, если на них есть единственная общая точка.

Линейные аксиомы

Аксиомы связи

• (аксиома существования). Существует хотя бы один отрезок; у каждого отрезка есть два и только два конца; кроме того отрезок содержит другие точки: точки, лежащие на отрезке.
• (аксиома проведения отрезка). Любые две точки можно соединить отрезком и притом только одним.
• (аксиома деления отрезка). Всякая точка, лежащая на отрезке, делит его на два отрезка, т. е. если С на АВ, то отрезки АС, ВС образуют вместе отрезок АВ и не имеют общих точек кроме С.
• (аксиома соединения отрезков). Если точка С лежит на отрезке АВ, а В на CD, то отрезки АВ,CD образуют отрезок AD.

Аксиомы равенства

• (аксиома откладывания отрезка). При любых двух отрезках АВ, MN существует и притом единственный отрезок АС, равный MN и налегающий на АВ.
• (аксиома сравнения). Два отрезка, равные одному и тому же отрезку, равны друг другу.
• (аксиома сложения). Если С на АВ, С' на A'B' и АС = А'С' и ВС = В'С' то AB = A'B'.
• (аксиома Архимеда). При любых данных отрезках a, b = АВ существует содержащий АВ отрезок $AA_{n}$, на котором есть такие точки $A_{1},\dots ,A_{n}$, что

  $AA_{1}=A_{1}A_{2}=\dots =A_{n-1}A_{n}=a$.

Аксиома непрерывности

• Если имеется бесконечная последовательность вложенных отрезков, т. е. если $a_{1}\supset a_{2}\supset \dots$ то существует точка, общая всем этим отрезкам.

Плоскостные аксиомы

Точки CD лежат с одной стороны от а, если отрезок CD не пересекает никакого отрезка, содержащего а.

Точки А, В лежат с разных сторон от а, если напротив, отрезок АВ пересекает какой-либо отрезок, содержащий а.

• (аксиома деления плоскости). По отношению к каждому данному отрезку а все точки, не лежащие ни на каком отрезке, содержащем а, делятся на два класса — в один класс входят точки, лежащие с одной стороны от а, а в другой точки, лежащие с другой стороны от а, причем в каждом классе есть точки.

Угол — это пара отрезков с общим концом, эти отрезки — стороны угла, их общий конец — вершина угла. Если при этом каждый из отрезков лежит целиком с одной стороны от другого, т.е. все его точки, кроме общего конца, лежат с одной стороны то угол, образованный отрезками, называется настоящим.

Поперечиной угла мы называем отрезок с концами на сторонах угла. Поперечины А В, А'В' углов О, O' соответственные, если ОА = O'A', OB = O'B'. Углы равны, если у них есть равные соответственные поперечины.

• (аксиома откладывания угла). От каждого отрезка по данную сторону от него, от данного его конца можно отложить угол, равный данному (настоящему) углу. При этом можно пользоваться любой поперечиной и угол будет всегда один и тот же.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие образуют вместе один отрезок не налегая друг на друга.

Угол равный своему смежному, называется прямым.

• (аксиома параллельных отрезков) Если отрезки AC, BD равны и идут в одну сторону от отрезка АВ под прямым углом, то CD = АВ.

Литература

• Александров А. Д. Основания геометрии. — 1987.
• Александров А. Д. Минимальные основания геометрии (рус.) // Сибирский математический журнал. — 1994. — Т. 35, № 6. — С. 1195–1209.
• Вернер А. Л. А. Д. Александров и школьный курс геометрии (рус.) // Математические структуры и моделирование. — 2012. — № 25. — С. 18–38.