Метод Крылова — Боголюбова

Метод Крылова-Боголюбова — метод получения приближённых аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений c малой нелинейностью.

Описание

Рассмотрим динамическую систему с малой нелинейностью:

${\ddot {x}}=Gx+\mu F(x,\mu ,t)$ (1)

Здесь $x$ - вектор состояния системы с $2n$ компонентами, $G$ - постоянная квадратная матрица, $\mu$ - малый параметр, $F$ - нелинейная вектор-функция от вектора состояния $x$, малого параметра $\mu$ и времени $t$.

При $\mu =0$ система превращается в линейную. Одно из её периодических решений можно записать в виде:

$x_{0}=AVe^{i(\omega t+\theta )}$ (2)

Здесь $A$ - произвольная постоянная, $V$ - собственный вектор матрицы $G$, $\omega$ - одна из некратных собственных частот системы, $\theta$ - произвольная постоянная.

Решение системы (1) при $\mu \neq 0$ ищем в виде ряда по степеням малого параметра $\mu$:

$x=x_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }\mu ^{k}u_{k}(A,\psi ,\mu t)$ (3)

Здесь $\psi =\omega t+\theta ,u1,u2,...$ - неизвестные вектор-функции $A,\psi$ и $\mu t$. $A$ и $\theta$ - медленно меняющаяся амплитуда и фаза, удовлетворяющие уравнениям:

${\frac {dA}{dt}}=\mu f_{1}(A,\theta ,\mu t)+\mu ^{2}f_{2}(A,\theta ,\mu t)+...$ (4)

${\frac {d\theta }{dt}}=\mu h_{1}(A,\theta ,\mu t)+\mu ^{2}h_{2}(A,\theta ,\mu t)+...$ (5)

Вычислим производную ${\dot {x}}$ в виде ряда от $\mu$, исходя из выражений (3, 4, 5):

${\dot {x}}=i\omega AVe^{i\psi }+\mu \left[f_{1}Ve^{i\psi }+iAh_{1}Ve^{i\psi }+\omega {\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}\right]+\mu ^{2}\left[f_{2}Ve^{i\psi }+iAh_{2}Ve^{i\psi }+{\frac {\partial u_{1}}{\partial (\mu t)}}+f_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial A}}+h_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}+\omega {\frac {\partial u_{2}}{\partial \psi }}\right]+...$ (6)

Нелинейную часть уравнения (1) также представим в виде ряда по малому параметру:

$\mu F(x,\mu ,t)=\mu F_{1}+\mu ^{2}F_{2}+...$ (7)

где $F_{1}=F(x_{0},0,t),F_{2}={\frac {\partial F(x_{0},0,t)}{\partial x}}u_{1}+{\frac {\partial F(x_{0},0,t)}{\partial \mu }},...$

Приравнивая в левой и правой частях уравнения (1) члены с одинаковыми степенями малого параметра $\mu$, получаем систему уравнений для определения неизвестных функций $u_{j}$ из уравнения (3):

$\omega {\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}+Gu_{1}=-f_{1}Ve^{i\psi }-iAh_{1}Ve^{i\psi }+F_{1}$ (8)

$\omega {\frac {\partial u_{2}}{\partial \psi }}+Gu_{2}=-f_{2}Ve^{i\psi }-iAh_{2}Ve^{i\psi }-{\frac {\partial u_{1}}{\partial (\mu t)}}-f_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial A}}-h_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}+F_{2}$ (9)

$...$

Разложим вектор-функции $u_{j},F_{j}$ в ряды Фурье с медленно меняющимися коэффициентами:

$u_{j}(A,\psi ,\mu t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }U_{j}^{(m)}(A,\theta ,\mu t)e^{im\psi }$ (10)

$F_{j}(A,\psi ,\mu t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }F_{j}^{(m)}(A,\theta ,\mu t)e^{im\psi }$ (11)

Далее подставим (10), (11) в (8), (9) и приравняв коэффициенты при каждой гармонике в обеих частях уравнения, получим систему неоднородных уравнений относительно $U_{j}^{(m)}$.

Для получения уравнений первого приближения из (8), (10), (11) составим уравнение для определения вектор-функции $U_{1}^{(m)}$

$(G+im\omega E)U_{1}^{(m)}=-(f_{1}+iAh_{1})\delta _{m1}V+F_{1}^{(m)}$ (12)

Условие совместности системы (12) при $m=1$ имеет вид:

$-f_{1}CV-iAh_{1}CV+CF_{1}^{(1)}=0$ (13)

Разделяя в (13) действительную и мнимую части, находим:

$f_{1}(A,\theta ,\mu t)=Re\left[{\frac {1}{\sum _{k=1}^{2n}c_{kk}}}\sum _{k=1}^{2n}{\frac {c_{kk}}{V_{k}}}F_{1k}^{(1)}(A,\theta ,\mu t)\right]$ (14)

$h_{1}(A,\theta ,\mu t)={\frac {1}{A}}Im\left[{\frac {1}{\sum _{k=1}^{2n}c_{kk}}}\sum _{k=1}^{2n}{\frac {c_{kk}}{V_{k}}}F_{1k}^{(1)}(A,\theta ,\mu t)\right]$ (15)

Во втором приближении сначала найдем из системы уравнений (12) векторы $U_{1}^{(m)}$. Учитывая, что при $m=1$ вектор $U_{1}^{(1)}$ определяется с точностью до произвольной постоянной, его можно представить в виде:

$U_{1}^{(1)}=AV^{(1)}$ (16)

Затем подставим в систему уравнений (9) ряды (10), (11). С учетом (16) получим:

$(G+im\omega E)U_{2}^{(m)}=-\left[(f_{2}+iAh_{2})V^{(1)}+(f_{1}+iAh_{1})V^{(1)}+A\left({\frac {\partial V^{(1)}}{\partial (\mu t)}}+f_{1}{\frac {\partial V^{(1)}}{\partial A}}+h_{1}{\frac {\partial V^{(1)}}{\partial \theta }}\right)\right]\delta _{m1}-\left[{\frac {\partial U_{1}^{(m)}}{\partial (\mu t)}}+f_{1}{\frac {\partial U_{1}^{(m)}}{\partial A}}+h_{1}{\frac {\partial U_{1}^{(m)}}{\partial \theta }}+imh_{1}U_{1}^{(m)}\right](1-\delta _{m1})+F_{}^{}$ (17)

Из условия совместности системы уравнений (17) при $m=1$ можно определить $f_{2}$ и $h_{2}$. Аналогично находятся члены третьего и более высоких приближений. В итоге получаем выражение для вектора состояния системы x

$x=A\left[V+\mu V^{(1)}(A,\theta ,\mu t)+\mu ^{2}V^{(2)}(A,\theta ,\mu t)+...\right]e^{i\psi }+...$ (18)

Здесь амплитуда $A$ и фаза $\theta$ удовлетворяют уравнениям (4), (5).

См. также

• Метод малого параметра

Литература

• Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э.,. Теория колебаний. — М.: Наука, 1981.
• Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А.,. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1963.
• Гуляев В. И., Баженов В. А., Попов С. Л.,. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем. — М.: Высшая школа, 1989. — 383 с. — ISBN 5-06-000091-5.