Известные распределения случайных величин

На данной странице представлены основные сведения об известных типовых распределениях случайных величин, которые не были рассмотрены на странице Распределение вероятностей

Дискретные распределения случайных величин

Название	Плотность (последовательность вероятностей)	Параметр
Бореля-Таннера;	$\mathrm {P} (\{x\})={\frac {k}{(x-k)!}}x^{x-k-1}e^{-\alpha x}\alpha ^{x-k},x=k,k+1,k+2,...$	α — форма; k — мин. значение
Вырожденное	$\mathrm {P} (\{\alpha \})=1$	α — значение величины
Гипергеометрическое;	$\mathrm {P} (\{x\})={\frac {C_{M}^{x}C_{N-M}^{n-x}}{C_{N}^{n}}},x=max\{0,n-M\},1,2,...,min\{M,n\}$	N — объём ген. совокупности, M — количество отмеченных элементов, n — объём выборки
Логарифмическое;	$\mathrm {P} (\{x\})={\frac {-q^{x}}{x\ln(1-q)}},x=1,2,3,...$	q — вероятность события
Отрицательное биномиальное (Паскаля);	$\mathrm {P} (\{x\})=C_{r+x-1}^{x}p^{r}(1-p)^{x},x=0,1,2,...$	r — количество успехов; p — вероятность успеха
Отрицательное гипергеометрическое	$\mathrm {P} (\{x\})={\frac {C_{x+m-1}^{x}C_{N-m-x}^{M-m}}{C_{N}^{M}}},x=0,1,2,...,(N-M)$	N — объём ген. совокупности, M — число отмеченных элементов, m — требуемое число отмеченных элементов
Пойа	$\mathrm {P} (\{x\})={\frac {C_{(b/c)+x-1}^{x}C_{(r/c)+n-x-1}^{n-x}}{C_{((b+r)/c)+n-1}^{n}}},x=0,1,2,...,n$	b — количество «черных», r — «красных», n — извлекаемых шаров, c — возвращаемых вместе с выбранным того же цвета

Непрерывные распределения случайных величин

Название	Функция плотности распределения	Параметры
α (альфа);	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {c\beta }{t^{2}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(\alpha t-\beta )^{2}}{2t^{2}}}\right),&x>0,\\0,&x\leq 0,\end{cases}} \,\,c=\left({\frac {1}{2}}+\Phi (\alpha )\right)^{-1}$	α — форма, β — масштаб
χ (хи)	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {x^{n-1}}{2^{n/2-1}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right),&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}}$	n — число степеней свободы
L-распределение Сосновского	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {\eta \gamma \left(1-(1-x)^{\eta }\right)^{\gamma -1}}{(1-x)^{1-\eta }}},&x\in [0,1],\\0,&x\not \in [0,1]\end{cases}}$	η, γ -форма
T2-Хотеллинга	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\,\,x^{k/2-1}\,\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}}{\Gamma \left({\frac {n-k}{2}}\right)\,\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\,n^{k/2}}},&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}}$	n, k — число степеней свободы
Z-Фишера;	$\mathrm {\frac {2m_{1}^{m_{1}/2}m_{2}^{m_{2}/2}\Gamma \left({\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}\right)e^{-m_{1}x}}{\Gamma \left({\frac {m_{1}}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {m_{2}}{2}}\right)\left(m_{1}e^{2x}+m_{2}\right)^{\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}}}$	m1, m2 — степени свободы
Арксинуса обобщенное	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {\sin(\pi \alpha )}{\pi }}x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1},&x\in (0,1),\\0,&x\not \in (0,1)\end{cases}}$	α — форма
Берра	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {\alpha \beta \,x^{\alpha -1}\,}{\left(1+x^{\alpha }\right)^{\beta +1}}},&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}}$	α — форма, β — масштаб
Бирнбаума-Саундерса	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {{\sqrt {\frac {x}{\theta }}}+{\sqrt {\frac {\theta }{x}}}}{2\beta x{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {\left({\sqrt {\frac {x}{\theta }}}-{\sqrt {\frac {\theta }{x}}}\right)^{2}}{2\beta ^{2}}}\right),&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}}$	β — форма; θ — масштаб
Вальда (инверсное Гаусса);	$\mathrm {\begin{cases}{\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\,\exp \left(-{\frac {\lambda \left(x-\mu \right)^{2}}{2\mu ^{2}x}}\right),&x\geq 0,\\0,&x<0\end{cases}}$	μ — масштаб; λ — форма
Вон Мизеса	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {\exp \left(b\cos(x-a)\right)}{2\pi BesselI(0,b)}},&x\in [0,2\pi ],\\0,&x\not \in [0,2\pi ]\end{cases}}$	a — мода, b — форма
Гиперэкспоненциальное	$\mathrm {\begin{cases}\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}\lambda _{k}\,exp\left(-\lambda _{k}x\right),&x\geq 0,\\0,&x<0\end{cases}}$	αi - форма; λi - масштаб
Гумбеля макс. (экстремальных, максимальных значений, тип I);	$\mathrm {\frac {1}{\beta }} \exp \left(-{\frac {x-\alpha }{\beta }}-\exp \left(-{\frac {x-\alpha }{\beta }}\right)\right)$	α — мода; β — масштаб
Гумбеля мин. (экстремальных, минимальных значений, тип I);	$\mathrm {\frac {1}{\beta }} \exp \left({\frac {x-\alpha }{\beta }}-\exp \left({\frac {x-\alpha }{\beta }}\right)\right)$	α — мода; β — масштаб
Двойное экспоненциальное (экстремальных значений, тип I)	$\mathrm {\alpha } \beta \,\exp \left(-\alpha x-\beta \,\exp \left(-\alpha x\right)\right)$	α — масштаб; β — форма
Джонсона несвязанное	$\mathrm {\frac {exp\left(-{\frac {1}{2}}\left[\alpha _{1}+\alpha _{2}\ln \left({\frac {x-\gamma }{\beta }}+{\sqrt {\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{2}+1}}\right)\right]^{2}\right)}{\alpha _{2}^{-1}{\sqrt {(x-\gamma )^{2}+\beta ^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}}$	α1 , α2 — форма; γ — положение; b — масштаб
Джонсона связанное	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}\ln \left({\frac {x-a}{b-x}}\right)\right)^{2}\right)}{\alpha _{2}^{-1}(b-a)^{-1}(x-a)(b-x){\sqrt {2\pi }}}},&x\in [a,b],\\0,&x\not \in [a,b]\end{cases}}$	α1 , α2 — форма; a — положение; (b — a) — масштаб
Инверсное Вейбулла	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {\alpha ^{-\beta }\beta }{(x-\lambda )^{\beta +1}}}\,\exp \left(-\left(\alpha (x-\lambda )\right)^{-\beta }\right),&x\geq \lambda ,\\0,&x<\lambda \end{cases}}$	α — форма; β — масштаб; λ — сдвиг
Лог-логистическое (1)	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {\exp(z)}{\beta x(1+z)^{2}}},&x>0,\\0,&x\leq 0,\end{cases}} z={\frac {\ln(x)-\lambda }{\beta }}$	β — форма; λ — масштаб
Лог-логистическое (2)	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{\beta ^{\alpha }}}\left(1+\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{\alpha }\right)^{-2},&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}}$	α — форма; β — масштаб
Максвелла;	$\mathrm {\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {x^{2}}{\sigma ^{3}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}}$	σ — масштаб
Мойяла	$\mathrm {\frac {exp\left(-{\frac {x-\mu }{2\sigma }}-{\frac {1}{2}}exp\left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right)}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}$	μ — положение; σ — масштаб
Нормальное сложенное	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\,\cosh \left({\frac {\mu x}{\sigma ^{2}}}\right)\exp \left(-{\frac {x^{2}+\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),&x\geq 0,\\0,&x<0\end{cases}}$	μ - сдвиг, σ - масштаб
Нормальное, усеченное слева	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {c}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),&x>x_{0},\\0,&x\leq x_{0},\end{cases}} \,\,c=\left({\frac {1}{2}}-\Phi \left({\frac {x_{0}-\mu }{\sigma }}\right)\right)$	x0 — точка усечения, μ — положение, σ — разброс
Парето;	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {\alpha }{x_{0}}}\left({\frac {x_{0}}{x}}\right)^{\alpha +1},&x>x_{0},\\0,&x\leq x_{0}\end{cases}}$	α — масштаб, х0 — мин. значение
Пирсона, тип V	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {x^{-(\alpha +1)}}{\beta ^{-\alpha }\Gamma (\alpha )}}\exp \left(-{\frac {\beta }{x}}\right),&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}} \$	α — форма; β — масштаб
Пирсона, тип VI	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{\alpha _{1}-1}}{\beta \,\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2})\,\left(1+{\frac {x}{\beta }}\right)^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}}},&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}} \$	α1 , α2 — форма; β — масштаб
Степенное	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {cx^{c-1}}{b^{c}}},&x\in [0,b],\\0,&x\not \in [0,b]\end{cases}}$	b — макс. значение, c — форма
Трапецеидальное	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b+d-a-c)(c-a)}},&x\in [a,c],\\{\frac {2}{b+d-a-c}},&x\in (c,d],\\{\frac {2(b-x)}{(b+d-a-c)(b-d)}},&x\in (d,b],\\0,&x\not \in [a,b]\end{cases}}$	a — мин., b — макс. значение; c, d — координаты верхнего основания трапеции
Трапеции прямоугольной	$\mathrm {\begin{cases}{a+2x(1-a)},&x\in [0,1],\\0,&x\not \in [0,1]\end{cases}}$	a — высота основания слева
Треугольное (Симпсона)	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}},&x\in [a,c],\\{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}},&x\in (c,b],\\0,&x\not \in [a,b]\end{cases}}$	a — мин., b — макс., c — наиболее вероятное значение
Фреше (экстремальных значений, тип II)	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {\alpha \beta ^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}\exp \left(-\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{-\alpha }\right),&x\geq 0,\\0,&x<0\end{cases}}$	α — форма; β — масштаб
Экспоненциальное степенное;	$\mathrm {\frac {exp\left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {|x-\mu |}{\phi }}\right)^{\frac {2}{1+\beta }}\right)}{\phi \,2^{\left({\frac {1+\beta }{2}}+1\right)}\Gamma \left({\frac {1+\beta }{2}}+1\right)}}$	m — медиана, f — масштаб, b — форма
Экстремальных значений модифицированное	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {1}{\lambda }}\exp \left({x-{\frac {\exp(x)-1}{\lambda }}}\right),&x\geq 0,\\0,&x<0\end{cases}}$	λ — форма
Эрланга	$\mathrm {\begin{cases}{\frac {x^{\alpha -1}\,\lambda ^{\alpha }}{(\alpha -1)!}}e^{-\lambda x},&x\geq 0,\\0,&x<0\end{cases}}$	α — форма; λ — масштаб

Литература

• Андронов, А. М. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. / А. М. Андронов, Е. А. Копытов, Л. Я. Гринглаз. СПб.: Питер, 2004. 461 с.
• Афифи, А. Статистический анализ: подход с использованием ЭВМ. / А. Афифи, С. Эйзен. М.: Мир, 1982. 486 с.
• Герасимович, А. И. Математическая статистика. / А. И. Герасимович. Мн: Вышэйшая шко-ла, 1983. 275 с.
• Ефремова, Н. Ю. Оценка неопределенности в измерениях: Практическое пособие. / Н. Ю. Ефремова. Мн.: БелГИМ, 2003. 50 с.
• Каазик, Ю. Я. Математический словарь. / Ю. Я. Каазик. Таллинн: Валгус, 1985. 296 с.
• Капур, К. Надежность и проектирование систем. / К. Капур, Л. Ламберсон. М.: Мир, 1980. 606 с.
• Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1970. 720 с.
• Ликеш, И. Основные таблицы математической статистики. / И. Ликеш, И. Ляго. М.: Финансы и статистика, 1985. 356 с.
• Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. М.: Сов. энциклопедия. В 5-ти томах, 1977.
• Орлов, А. И. Прикладная статистика: учебник / А. И. Орлов. М.: Издательство «Экзамен», 2006. 671 с.
• Половко, А. М. Основы теории надежности. / А. М. Половко, С. В. Гуров. СПб.: БХВ-Петербург, 2006. 704 с.
• Решетов, Д. Н. Надежность машин. / Д. Н. Решетов, А. С. Иванов, В. З. Фадеев. М. Высш. шк., 1988. 238 c.
• Справочник по прикладной статистике. В 2-х т. / Под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана, Ю. Н. Тюрина. М.: Финансы и статистика, 1989, 1990.
• Харин, Ю. С. Практикум на ЭВМ по математической статистике. / Ю. С. Харин, М. Д. Степанова. Мн.: «Университетское», 1987. 304 с.
• Хастингс, Н. Справочник по статистическим распределениям. / Н. Хастингс, Дж. Пикок. М.: Финансы и статистика, 1987. 95 с.
• SPSS, Inc. (2004). SPSS V.13. Help.