Лестничные операторы

В линейной алгебре (и её приложении к квантовой механике) повышающий и понижающий операторы (вместе называемые лестничными операторами) — операторы, увеличивающие и уменьшающие собственное значение другого оператора. В квантовой механике повышающий оператор часто называется оператором рождения, а понижающий оператор - оператором уничтожения. Применяются лестничные операторы в квантовой механике для описания, например (наиболее известные), квантового гармонического осциллятора и оператора углового момента.

Пусть два оператора X и N имеют коммутатор

$[N,X] = cX$

для некоторого скаляра c. Тогда оператор X действует на другой оператор таким образом, что сдвигает собственное значение оператора N на c:

$N \circ X|n\rangle$	${}= (XN+[N,X])|n\rangle$
	${} = (XN + cX)|n\rangle$
	${} = XN|n\rangle + cX|n\rangle$
	${} = Xn|n\rangle + cX|n\rangle$
	${} = (n+c)X|n\rangle$

Другими словами если $|n\rangle$ является собственным вектором оператора N с собственным значением n, то $X|n\rangle$ — собственное состояние N с собственным значением n + c. Повышающий оператор для N — оператор X для которого c является вещественным положительным числом, а понижающий оператор — для которого число c вещественное отрицательное.

Если N - эрмитов оператор, то c должно быть вещественным, при этом эрмитово сопряжённый оператор от X подчиняется следующему коммутационному соотношению:

$[N,X^\dagger] = -cX^\dagger$

Также верно, что если X является понижающим оператором для N, то X^† — повышающий оператор N (и обратное тоже верно).