Квантовая механика

Квантовая механика

$\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип неопределённости Гейзенберга

Введение Математические основы Основа Классическая механика · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая сцепленность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга Интерпретации Копенгагенская интерпретация · Теория скрытых параметров · Многомировая Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Квантовая хромодинамика · Квантовая гравитация Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также «Физический портал»

Туннельный эффект — квантовая механика показывает, что электроны могут преодолеть потенциальный барьер, что подтверждается результатами экспериментов.
Классическая механика наоборот предсказывает, что это невозможно.

Ква́нтовая меха́ника — раздел теоретической физики, описывающий квантовые системы и законы их движения.

Классическая механика, хорошо описывающая системы макроскопических масштабов, не способна описать явления на уровне атомов, молекул, электронов и фотонов. Квантовая механика адекватно описывает основные свойства и поведение атомов, ионов, молекул, конденсированных сред, и других систем с электронно-ядерным строением. Квантовая механика также способна описывать поведение электронов, фотонов, а также других элементарных частиц, если пренебречь взаимопревращением элементарных частиц. Описание превращений элементарных частиц строится в рамках квантовой теории поля. Эксперименты подтверждают результаты, полученные с помощью квантовой механики.

Основными понятиями квантовой кинематики являются понятия наблюдаемой и состояния.

Основные уравнения квантовой динамики — уравнение Шрёдингера, уравнение фон Неймана, уравнение Линдблада, уравнение Гейзенберга и уравнение Паули

Уравнения квантовой механики тесно связаны со многими разделами математики, среди которых: теория операторов, теория вероятностей, функциональный анализ, операторные алгебры, теория групп.

История

На заседании Немецкого физического общества, Макс Планк зачитал свою историческую статью «К теории распределения энергии излучения в нормальном спектре», в которой он ввёл универсальную постоянную h. Именно дату этого события, 14 декабря 1900 года, часто считают днем рождения квантовой теории.

Квантовая гипотеза Планка состояла в том, что для элементарных частиц, любая энергия поглощается или испускается только дискретными порциями. Эти порции состоят из целого числа квантов с энергией $\mathcal{E}$ таких, что эта энергия пропорциональна частоте ν с коэффициентом пропорциональности, определённым по формуле:

$\mathcal{E} = h \nu = \hbar \omega\,$

где h — постоянная Планка, и $\hbar=\frac{h}{2\pi}$.

В 1905 году, для объяснения явлений фотоэффекта, Альберт Эйнштейн, использовав квантовую гипотезу Планка, предположил, что свет состоит из квантов. Впоследствии, «кванты» получили название фотонов.

Для объяснения структуры атома, Нильс Бор предложил в 1913 году существование стационарных состояний электрона, в которых энергия может принимать лишь дискретные значения. Этот подход, развитый Арнольдом Зоммерфельдом и другими физиками, часто называют старой квантовой теорией (1900—1924 г.). Отличительной чертой старой квантовой теории является сочетание классической теории с противоречащими ей дополнительными предположениями.

В 1923 году Луи де Бройль выдвинул идею двойственной природы вещества, опиравшуюся на предположение о том, что материальные частицы обладают и волновыми свойствами, неразрывно связанными с массой и энергией. Движение частицы Л. де Бройль сопоставил с распространением волны, что в 1927 году получило экспериментальное подтверждение при исследовании дифракции электронов в кристаллах.

Высказанные в 1924 году идеи корпускулярно-волнового дуализма были в 1926 году подхвачены Э. Шрёдингером, развернувшим на их основе свою волновую механику.

В 1925—1926 годах были заложены основы последовательной квантовой теории в виде квантовой механики, содержащей новые фундаментальные законы кинематики и динамики. Первая формулировка квантовой механики содержится в статье Вернера Гейзенберга, датированной 29 июля 1925 года. Эту дату можно считать днем рождения нерелятивистской квантовой механики.

Развитие и формирование основ квантовой механики продолжается до сих пор. Оно связано, например, с исследованиями открытых и диссипативных квантовых систем, квантовой информатикой, квантовым хаосом и пр. Помимо квантовой механики, важнейшей частью квантовой теории является квантовая теория поля.

В 1927 году К. Дэвиссон и Л. Джермер в исследовательском центре Bell Labs демонстрируют дифракцию медленных электронов на никелевых кристаллах (независимо от Дж. Томсона). При оценке угловой зависимости интенсивности отраженного электронного луча, было показано её соответствие предсказанной на основании закона Вульфа — Брэггов для волн с длиной Де Бройля (см. Волны де Бройля). До принятия гипотезы де Бройля, дифракция расценивалась как исключительно волновое явление, а любой дифракционный эффект — как волновой. Когда длина волны де Бройля была сопоставлена с условиями Брэггов, была предсказана возможность наблюдения подобной дифракционной картины для частиц. Таким образом экспериментально была подтверждена гипотеза де Бройля для электрона.

Подтверждение гипотезы де Бройля стало поворотным моментом в развитии квантовой механики. Подобно тому, как эффект Комптона показывает корпускулярную природу света, эксперимент Дэвиссона — Джермера подтвердил неразрывное «сосуществование» с частицей её волны, иными словами — присущность корпускулярной материи также и волновой природы. Это послужило оформлению идей корпускулярно-волнового дуализма. Подтверждение этой идеи для физики стало важным этапом, поскольку дало возможность не только характеризовать любую частицу, присваивая ей определённую индивидуальную длину волны, но также при описании явлений, полноправно использовать её в виде определённой величины в волновых уравнениях.

Математические основания квантовой механики

Существует несколько различных эквивалентных математических описаний квантовой механики:

• При помощи уравнения Шрёдингера;
• При помощи операторных уравнений фон Неймана и уравнений Линдблада;
• При помощи операторных уравнений Гейзенберга;
• При помощи метода вторичного квантования;
• При помощи интеграла по траекториям;
• При помощи операторных алгебр, так называемая алгебраическая формулировка;
• При помощи квантовой логики.

Шрёдингеровское описание

Математический аппарат нерелятивистской квантовой механики строится на следующих положениях:

• Чистые состояния системы описываются ненулевыми векторами $|\psi\rangle$ комплексного сепарабельного гильбертова пространства $~H$, причем векторы $|\psi_1\rangle$ и $|\psi_2\rangle$ описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда $|\psi_2\rangle=c|\psi_1\rangle$, где $~c$ — произвольное комплексное число.
• Каждой наблюдаемой можно однозначно сопоставить линейный самосопряжённый оператор. При измерении наблюдаемой $\hat A$, при чистом состоянии системы $|\psi\rangle$ в среднем получается значение, равное

$\langle A\rangle=\frac{\langle\psi|\hat A \psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle}=\frac{\langle\psi|\hat A|\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle}$

где через $\langle\psi|\phi\rangle$ обозначается скалярное произведение векторов $|\psi\rangle$ и $|\phi\rangle$.

• Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы определяется уравнением Шрёдингера

$~i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle= \hat{H}|\psi\rangle$

где $~\hat{H}$ — гамильтониан.

Основные следствия этих положений:

• При измерении любой квантовой наблюдаемой, возможно получение только ряда фиксированных её значений, равных собственным значениям её оператора — наблюдаемой.
• Наблюдаемые одновременно измеримы (не влияют на результаты измерений друг друга) тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряжённые операторы перестановочны.

Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Не все состояния квантовомеханических систем, однако, являются чистыми. В общем случае состояние системы является смешанным и описывается матрицей плотности, для которой справедливо обобщение уравнения Шрёдингера — уравнение фон Неймана (для гамильтоновых систем). Дальнейшее обобщение квантовой механики на динамику открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем приводит к уравнению Линдблада.

Стационарное уравнение Шрёдингера

Пусть $\psi (\vec{r})$ амплитуда вероятности нахождения частицы в точке М. Стационарное уравнение Шрёдингера позволяет ее определить.
Функция $\! \psi (\vec{r})$ удовлетворяет уравнению:

$- {{\hbar}^2 \over 2 m} {\nabla}^{\,2} \psi + U(\vec{r}) \psi = E \psi$

где ${\nabla}^{\,2}$—оператор Лапласа, а $U=U(\vec{r})$ — потенциальная энергия частицы как функция $\vec{r}$.

Решение стационарного уравнения  

Пусть E и U две постоянные, независимые от $\vec r$.
Записав стационарное уравнение как:

${\nabla}^{\,2} \psi(\vec r) + {2m \over {\hbar}^2} (E-U) \psi(\vec r) = 0$

• Если E - U > 0, то:

Решение стационарного уравнения в случае, когда E-U>0

$\psi(\vec r) = A e^{-i\vec k \cdot \vec r} + B e^{i\vec k \cdot \vec r}$

где: $k=\frac{\sqrt{2m(E-U)}}{\hbar}$ — модуль волнового вектора; A и B — две постоянные, определяющиеся граничными условиями.

• Если E - U < 0, то:

$\psi(\vec r) = C e^{-\vec k \cdot \vec r} + D e^{\vec k \cdot \vec r}$

где: $k=\frac{\sqrt{2m(U-E)}}{\hbar}$ — модуль волнового вектора; C и D — две постоянные, также определяющиеся граничными условиями.

Принцип неопределённости Гейзенберга

Соотношение неопределённости возникает между любыми квантовыми наблюдаемыми, определяемыми некоммутирующими операторами.

Неопределенность между координатой и импульсом

Пусть $\Delta x\,$ — среднеквадратическое отклонение координаты частицы $M\,$, движущейся вдоль оси $x\,$, и $\Delta p\,$ — среднеквадратическое отклонение ее импульса. Величины $\Delta x\,$ и $\Delta p\,$ связаны следующим неравенством:

$\Delta x \Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2}$

где h — постоянная Планка, а $\hbar=\frac h {2\pi}.$
Согласно соотношению неопределённостей, невозможно абсолютно точно определить одновременно координаты и скорость частицы. Например, чем больше точность определения координаты частицы, тем меньше точность определения ее скорости.

Неопределенность между энергией и временем

Пусть ΔЕ — среднеквадратическое отклонение энергии частицы, и Δt — время, требуемое для обнаружения частицы.
Время Δt для обнаружения частицы с энергией E±ΔЕ определяется следующим неравенством:

$\Delta E \Delta t \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Необычные явления, мысленные эксперименты и парадоксы квантовой механики

• Соотношение неопределённостей Гейзенберга
• Корпускулярно-волновой дуализм
  • Дифракция электронов
• Сверхтекучесть (Бозе-конденсат)
• Сверхпроводимость
• Квантовая телепортация
• Квантовая запутанность (Квантовая нелокальность, «Квантовое Вуду»)
  • Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена
• Парадокс Клейна
• Квантовый парадокс Зенона («Парадокс незакипающего чайника», связанный с аксиомой идеального измерения)
• Кот Шрёдингера
• Надбарьерное отражение
• Теорема о запрете клонирования
• Обменное взаимодействие

Разделы квантовой механики

В стандартных курсах квантовой механики изучаются следующие разделы

• математическая основа квантовой механики и теория представлений;
• точные решения одномерного стационарного уравнения Шрёдингера для различных потенциалов;
• приближённые методы (квазиклассическое приближение, теория возмущений и т. д.);
• нестационарные явления;
• уравнение Шрёдингера в трёхмерном случае и теория углового момента;
• теория спина;
• тождественность частиц;
• строение атомов и молекул;
• рассеивание частиц;

Интерпретации квантовой механики

Существует множество интерпретаций квантовой теории, которые иногда плохо согласуются друг с другом.

Интерпретации квантовой механики  

						Квантовая Теория
Не должна представлять реальность						Не полностью представляет реальность							Полностью представляет реальность
Позитивизм			Измененные квантовые законы			Влияние сознания			Полная переработка			Декогеренция				Многомировая интерпретация
Стивен Хокинг Нильс Бор			Роджер Пенроуз			Юджин Вигнер			Интерпретация Бома			Ролан Омнес Мюррей Гелл-Манн Джеймс Хартл				Хью Эверетт
			Джанкарло Джирарди Альберто Римини Вебер Вильгельм			Джон фон Нейман Фриц Лондон (англ. Fritz London) & Эдмонд Бауер						Ганс-Диетер Зех Wojciech Zurek

Комментарии

• Обычно квантовая механика формулируется для нерелятивистских систем. Рассмотрение частиц с релятивистскими энергиями в рамках стандартного квантовомеханического подхода, предполагающего фиксированное число частиц в системе, сталкивается с трудностями, поскольку при достаточно большой энергии частицы могут превращаться друг в друга. Эти трудности устраняются в квантовой теории поля, которая и является самосогласованной теорией релятивистских квантовых систем.

• Важным свойством квантовой механики является принцип соответствия: в рамках квантовой механики доказывается, что в пределе больших величин действия (квазиклассический предел) и в случае, когда квантовая система взаимодействует с внешним миром (декогеренция), уравнения квантовой механики редуцируются в уравнения классической физики (см. Теорема Эренфеста). Таким образом, квантовая механика не противоречит классической физике, а лишь дополняет её на микроскопических масштабах.

• Некоторые свойства квантовых систем кажутся непривычными (невозможность одновременно измерить координату и импульс, несуществование определённой траектории частицы, вероятностное описание, дискретность средних значений наблюдаемых величин). Это вовсе не значит, что они неверны: это означает, что наша повседневная интуиция никогда не сталкивалась с таким поведением, т. е. в данном случае «здравый смысл» не может быть критерием, поскольку он годится только для макроскопических систем. Квантовая механика — самосогласованная математическая теория, предсказания которой согласуются с экспериментами. В настоящее время огромное число приборов, используемых в повседневной жизни, основываются на законах квантовой механики, как например — лазер или сканирующий туннельный микроскоп.

• Классическая механика оказалась неспособной объяснить движение электронов вокруг атомного ядра. Например, согласно классической электродинамике, электрон, вращающийся с большой скоростью вокруг атомного ядра, должен излучать энергию. Тогда его кинетическая энергия должна уменьшаться и он должен упасть на ядро. Для понимания процессов, происходящих на уровне элементарных частиц, потребовалась новая теория. Квантовая теория — это совершенно новый взгляд на систему, позволяющий с огромной точностью описать необычное поведение электронов и фотонов.

См. также

• Квантовая теория поля
• Интерпретация квантовой механики
• Парадоксы квантовой механики
• Квантовая открытая система
• Принцип соответствия Дирака
• Теорема Эренфеста
• Квантовая химия
• Квантовая электродинамика
• Опыт Юнга
• Эксперимент Афшара
• Туннельный эффект
• Математические основы квантовой механики
• Оператор (физика)
• Нерешённые проблемы современной физики
• Интерпретация квантовой механики

Литература

• Физический энциклопедический словарь. Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. М.: Сов. Энциклопедия, 1984. — 944 с.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-ое изд. Наука, 1976. — 664 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720 c.
• Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М.: Наука, 1985. — 384 с.
• Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-ое изд. М.: Наука, 1979. — 480 с.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория) — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.
• Садбери А. Квантовая механика и физика элементарных частиц. М.: Мир, 1989. — 488 с.
• Фадеев Л. Д., Якубовский О. А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков. Ленинград, Изд-во ЛГУ, 1980. — 200 c.
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Феймановские лекции по физике. Пер. с англ., Том. 8. Том 9., М., 1966—1967.
• К. Коэн-Таннуджи, Б. Диу, Ф. Лалоэ. Квантовая механика. Т.1. Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 2000. — 944 с.
• К. Коэн-Таннуджи, Б. Диу, Ф. Лалоэ. Квантовая механика. Т.2. Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 2000. — 800 с.

Ссылки

• Лорен Грэхэм «Естествознание, философия и науки о человеческом поведении в Советском Союзе, Глава X. Квантовая механика»
• Шрёдингер Э. Избранные труды по квантовой механике, — М..: Наука, 1976.
• Нейман И. Математические основы квантовой механики, — М.: Наука, 1964.
• Паули В. Общие принципы волновой механики, — М. — Л.: ГИТТЛ, 1947.
• Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики (2-е издание), — М.: Наука, 1979.
• Фущич В. И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений квантовой механики, — М.: Наука, 1990.
• Блохинцев Д. И. Принципиальные вопросы квантовой механики. М.: Наука, 1966.
• «Квантовая механика» — статья в Физической энциклопедии.

Разделы механики

 

Физика (экспериментальная • теоретическая)