Обсуждение:Теорема Евклида

Доказательство Евклида

Я поправил доказательство, приведенное со ссылкой на Евклида, потому что этот фрагмент мне показался странным:

Если $q$ не является простым, то существует некоторое простое число $p$, которое является делителем числа $q$, так как каждое отличное от единицы натуральное число имеет делитель — простое число.

Но после этого я засомневался, что это было правильно, поскольку может быть здесь имелась в виду цитата из самого Евклида (а не современный пересказ его доказательства, как я подумал). Если это так, наверное следует обсудить, что делать. Eozhik (обс.) 19:33, 26 января 2020 (UTC)

Вот это заявление тоже выглядит странно:

Часто сообщается, что Евклид начинает с предположения, что первоначально рассмотренное множество содержит все простые числа, и далее ведет доказательство теоремы от противного. Хотя такое доказательство верно, оригинальное рассуждение Евклида производится именно для произвольного конечного набора простых чисел.

Что здесь может иметься в виду? Eozhik (обс.) 19:37, 26 января 2020 (UTC)

По первому высказыванию ... И что вам показалось странным? Любое число либо само простое, либо имеет делитель (по определению простого)...

По второму высказыванию... А что здесь странного? Если количество чисел конечно, значит их можно все выписать. Выпишем их все. А дальше по тексту... Jumpow (обс.) 16:41, 27 января 2020 (UTC)

• Насчет первого. Тут две проблемы:

1. Когда впервые это видишь, тире производит впечатление опущенного слова "есть". По этой причине предложение кажется корявым до абсурда. Не должно быть таких колдобин в энциклопедическом тексте.
2. Спотыкаешься об это место, помимо прочего, потому что логика в предложении нарушена: у $q$ существует простой делитель $p$ не потому что $q$ составное, а потому что $q>1$. (Между прочим, после моей правки эта проблема все еще не устранена, я сейчас это почищу, с Вашего позволения.) Eozhik (обс.) 19:37, 27 января 2020 (UTC)

• Насчет второго: непонятно, что тут противопоставляется. Между этим

  Часто сообщается, что Евклид начинает с предположения, что первоначально рассмотренное множество содержит все простые числа, и далее ведет доказательство теоремы от противного.

  — и этим

  Хотя такое доказательство верно, оригинальное рассуждение Евклида производится именно для произвольного конечного набора простых чисел.

  — противоречий не видно. Зачем это писать, и что тут хочет сказать автор? Eozhik (обс.) 19:37, 27 января 2020 (UTC)

Нет, все равно что-то не то. Откуда взялось это доказательство? Это не цитата из Евклида, это современный пересказ, откуда он? Eozhik (обс.) 20:14, 27 января 2020 (UTC)

Это доказательство еще дальше упрощается до такого:

Предположим, что простых чисел конечное множество. Тогда их можно занумеровть в конечную последовательность $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$. Пусть $P$ — произведение всех чисел из этого списка: $P=p_{1}p_{2}{\dots }p_{n}$. Положим $q=P+1$. Поскольку $q=P+1>1$, существует некоторое простое число $p$, делящее $q$. По нашему предположению, простыми числами являются только $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$, поэтому $p$ должно лежать в этом списке. Отсюда следует, что $p$ должно делить $P$ (поскольку $P$ является произведением всех чисел из списка). Значит, $p$ делит и $P$, и $q$. Как следствие, $p$ делит их разность $q-P=(P+1)-P=1$. Мы получили простое число $p$, которое делит $1$. Поскольку такое невозможно, наше предположение, что простых чисел конечное множество, ложно.

Eozhik (обс.) 20:23, 27 января 2020 (UTC)

• Начнем с второго: доказательство Евклида прямое, а не от противного. У него нет предположения о том, что простых чисел конечное множество. Ссылка на АИ дана.
  Насчет откуда взялось доказательство. Ссылка на дословный перевод Евклида преведена [1]. Наше доказательство действительно не является цитатой из Евклида, но довольно близко пересказывает доказательство в комментарии к переводу. Единственное существенная разница, которую я заметил, это то, что Евклид использует общий делитель, а мы произведение: $P=p_{1}p_{2}{\dots }p_{n}$. Я не против того, чтобы привести доказательство ближе к евклидову, но против того, чтобы давать упрощенное доказательство вместо евклидова. Упрощенное доказательство можно поместить после.
  Ну а насчет тире, то тут я согласен, поменял. — Алексей Копылов 03:43, 28 января 2020 (UTC)

Все же этого у Вильямсона нет:

так как каждое отличное от единицы натуральное число имеет простой делитель.

Вместо этого есть ссылка на другое утверждение у Евклида о составных числах. Я думаю, нужно сделать как в источнике. Eozhik (обс.) 09:23, 28 января 2020 (UTC)

• Согласен. — Алексей Копылов 18:13, 28 января 2020 (UTC)

Где вообще в этом источнике указан автор? Я не вижу упоминаний о Вильямсоне. Eozhik (обс.) 09:28, 28 января 2020 (UTC)

Alexei Kopylov

1. В теперешней редакции доказательство глаз не режет, это можно оставить.
2. Со вторым проблема осталась. Я так понимаю, что это

   Начнем с второго: доказательство Евклида прямое, а не от противного. У него нет предположения о том, что простых чисел конечное множество.

   — ответ на это

   Насчет второго: непонятно, что тут противопоставляется.

   Вот как у Евклида:

   Let A, B, and C be the assigned prime numbers. I say that there are more prime numbers than A, B, and C...

   А вот интерпретиация евклидова доказательства там же:

   Suppose that there are $n$ primes, $a_{1},a_{2},...,a_{n}$. Euclid, as usual, takes an specific small number, $n=3$, of primes to illustrate the general case.

   Это на вашем языке называется "прямое доказательство, а не от противного"? Евклид преполагает, что простых чисел всего три, а потом показывает, что их больше. По современным стандартам это, конечно, не доказательство, а только набросок, но и предположение, которое затем опровергается (то есть рассуждение от противного) в нем присутствует. Для Вас это не так? Eozhik (обс.) 07:14, 28 января 2020 (UTC)

• Евклид предполагает, что есть конечный список простых чисел. Но он не предполагает, что этот список заключает в себе все простые числа. — Алексей Копылов 18:12, 28 января 2020 (UTC)

• Да, я вижу, что он доказывает формально другое утверждение: "простых чисел больше, чем любое выбранное (конечное) их множество". В русском переводе его книги это звучит так:

  Первых чисел существует больше всякого предложенного количества первых чисел.

  Утверждение, что их бесконечно много — это следствие на современном языке. Ну это надо так и объяснить в тексте. А эти рассуждения про "Часто сообщается, что Евклид начинает с предположения..." вообще нужно выбросить, потому что они

а) затемняют смысл написанного,

б) запутывают читателя, и

в) не нужны. Eozhik (обс.) 19:05, 28 января 2020 (UTC)

• Alexei Kopylov, ну так что, я так делаю? Eozhik (обс.) 07:30, 31 января 2020 (UTC)
  • Я против того, чтобы выбрасывать это из текста. Я считаю, что это нужно, так это действительно так: часто говорят, что Евклид доказывает от противного, а это неверно. И этот текст снабжен ссылкой на АИ. Там это хорошо объясняется: [2]. Если вы считаете, что это запутывает читателя, может это надо написать понятнее. Предложите свой вариант.
    — Алексей Копылов 17:12, 31 января 2020 (UTC)

• Alexei Kopylov, а вы можете привести источники, где как утверждают авторы "сообщается, что Евклид начинает с предположения, что первоначально рассмотренное множество содержит все простые числа, и далее ведет доказательство теоремы от противного"? Eozhik (обс.) 17:18, 31 января 2020 (UTC)
  • А зачем? Если есть источник, в авторитетности которого у меня нет смысла сомневаться, это говориться, то зачем мне проверять это? — Алексей Копылов 22:37, 31 января 2020 (UTC)

• Затем, чтобы проверить написанное. Проблема, Alexei Kopylov, что Вы этого не делаете. Eozhik (обс.) 04:35, 1 февраля 2020 (UTC)

• Я пока поправлю то, о чем мы уже договорились. Eozhik (обс.) 04:37, 1 февраля 2020 (UTC)
• Я поправил. Это

  Это доказывает, что для любого конечного списка простых чисел существует простое число, не принадлежащее списку, а потому должно существовать бесконечно много простых чисел.

  — очередная иллюстрация к только что сказанному. Статья Фюрстенберга никакого отношения к обсуждаемому тут не имеет. Он приводит "топологическое доказательство" бесконечности простых чисел. Сам абзац становится лишним после объяснения, какое точно утверждение доказывает Евклид. С позволения присутствующих, я его уберу. Eozhik (обс.) 05:23, 1 февраля 2020 (UTC)

• Теперь вот эта деталь:

  Если $q$ — простое, то получили простое число, не входящее в список

  Здесь отсутствует подлежащее. Кто получил? Математик написал бы "мы получили". Но, судя по этой претензии, правилам вашего клуба употребление слова "мы" противоречит. Вопрос: как здесь разрешается эта проблема? Eozhik (обс.) 05:36, 1 февраля 2020 (UTC)

• И мы подходим вплотную к обсуждавшемуся ранее абзацу:

  Часто сообщается, что Евклид начинает с предположения, что первоначально рассмотренное множество содержит все простые числа, и далее ведет доказательство теоремы от противного. Хотя такое доказательство верно, оригинальное рассуждение Евклида производится именно для произвольного конечного набора простых чисел.

  После моих объяснений, что именно доказывает Евклид и как он это делает, и после Ваших признаний, что Вам неизвестны источники, о которых тут идет речь, Вы, Alexei Kopylov, по-прежнему настаиваете на сохранении этого куска? Eozhik (обс.) 05:49, 1 февраля 2020 (UTC)
  • Спасибо за Вашу работу. Единственное, что я убрал цитату, в которых простые числа названы "первыми". Конечно это перевод профессионального переводчика, поэтому если вы настаиваете, то можно вернуть, но тогда нужно добавить пояснение, что это просто термин, который означает простые числа.
    Я еще приблизил доказательство к евклидовому.
    Что касается абзаца, который Вам не нравится: я не уверен, что понял, что именно Вас в нем смущает. То что вы не верите в то, что "часто сообщается"? Но тогда как объяснения, что доказывает Евклид на это влияет? — Алексей Копылов 20:08, 1 февраля 2020 (UTC)

• Конечно это перевод профессионального переводчика, поэтому если вы настаиваете, то можно вернуть

  Настаиваю.

  Я еще приблизил доказательство к евклидовому.

  Зачем нужно было это делать? Чтобы почувствовать себя умнее Вильямсона? Без индексов современному читателю будет труднее понять. Сделайте как у Вильямсона, если хочется приблизить к оригиналу.

  Но тогда как объяснения, что доказывает Евклид на это влияет?

  — Это требует перевода. Eozhik (обс.) 03:14, 2 февраля 2020 (UTC)
  • Нет, главным образом, потому что у нас было произведение, а у Евклида НОК. — Алексей Копылов 06:12, 3 февраля 2020 (UTC)

• Alexei Kopylov что насчет остального? Eozhik (обс.) 05:18, 4 февраля 2020 (UTC)
  • Остальное не так принципиально. Мне кажется индексы были бы анахронизмом, но это дело вкуса. Что касается употребления термина "первые числа" вместо "простые числа", то я не вижу в этом смысла: всё равно Евклид писал по-гречески, и зачем мы должны переводить дословно, если можно перевести точно? Но формально Вы правы, АИ на вашей стороне. Поэтому можете заменить "простые" на "первые", только тогда обязательно дайте комментарий, как это сделано несколькими страницами раньше у Мордухай-Болтовского. — Алексей Копылов 02:58, 5 февраля 2020 (UTC)

• Про индексы Вы Вильямсону расскажите и издателям, которые его публикуют. У него так, и Вы не имеете право его править. И Евклида Вы тоже не имеете право править. Цитату из него привести нужно, потому что это его утверждение и его доказательство. А не Ваше. Eozhik (обс.) 04:57, 6 февраля 2020 (UTC)

• я не уверен, что понял, что именно Вас в нем смущает

  Мне не нравятся в этом куске две вещи:

1) В нем речь идет об источниках, которые здесь никто не видел и не проверял, и

2) Ничтожность повода для споров. Харди и Вудголд спорят с кем-то о доказательстве Евклида, хотя идиотизм обсуждаемого становится виден просто если заглянуть в Евклида и поглядеть, какое именно он утверждение доказывает. Эти рассуждения не заслуживают упоминания в энциклопедии. Eozhik (обс.) 03:25, 2 февраля 2020 (UTC)

• 1) Мы должны излагать то, что говориться в АИ. Мы не обязаны все проверять. Только если есть веские аргументы не верить АИ. 2) Я не вижу тут идиотизма. — Алексей Копылов 06:14, 3 февраля 2020 (UTC)

• Тут, Alexei Kopylov, находится главное наше расхождение.

  1) Мы должны излагать то, что говориться в АИ. Мы не обязаны все проверять. Только если есть веские аргументы не верить АИ. 2) Я не вижу тут идиотизма.

  1) Я, в отличие от Вас, считаю, что автор обязан понимать смысл того, что пишет и что написано в цитируемых им источниках. Потому что повторять чужие глупости аморально. 2) Никто не говорил, что понять смысл будет легко. Вам следует приложить усилия. 3) И к грамотности написанного следует относиться с большей щепетильностью:

  Мы должны излагать то, что говориться в АИ.

  Eozhik (обс.) 05:18, 4 февраля 2020 (UTC)
  • Редактор Википедии понимать смысл написано конечно должен. А проверять не обязан. Это действительно главное наше расхождение. Сомневаться во всем это конечно хорошее свойство, но для учёного, а не для энциклопедиста. Вы сомневаетесь в авторитетности источника, если вы не согласны с тем, что излагает источник. А это уже совсем не научный подход. Если вы хотите опровергнуть то, что сказано в авторитетном источнике, то бремя доказательства лежит на вас. См. Википедия:Достоверность, особенно второй абзац раздела Не надо слепо верить авторитетам. — Алексей Копылов 02:58, 5 февраля 2020 (UTC)

• Здесь не в сомнениях дело, Alexei Kopylov, а в том, что Вы элементарно не понимаете, о чем речь. И это тоже нас различает. И противоречит Вашему же правилу:

  Редактор Википедии понимать смысл написано конечно должен.

  Евклид доказывает утверждение

  простых чисел больше, чем любое выбранное конечное их множество

  , для которого ему не нужно делать никаких предположений о конечности множества простых чисел. Какие-то люди, по словам Харди и Вудголд, интерпретируют это как

  простых чисел бесконечно много

  с доказательством от противного, после чего Харди и Вудголд тратят 9 страниц убористого текста на то, чтобы убедить этих авторов (писания которых Вы не проверяли, и, как Вы утверждаете, не обязаны проверять, но настаиваете на необходимости этот спор включать в текст) в том, что они неправы. Мой тезис заключается в том, что

1) нет никакой необходимости тратить 9 страниц на убеждения, достаточно показать этим авторам, что именно доказывает Евклид, и

2) нет никакой необходимости упоминать в Википедии об этом идиотском споре, потому что это отвлекает читателя от важных вещей. Eozhik (обс.) 04:57, 6 февраля 2020 (UTC)

• Следующий-то абзац

  Доказательство Евклида может быть кратко воспроизведено так:...

  — тоже отсебятина? Где источник? И зачем это вообще нужно, если до него доказательство Евклида приводится? Eozhik (обс.) 03:31, 2 февраля 2020 (UTC)

• Alexei Kopylov, это так и осталось непрокомментированным. Eozhik (обс.) 05:18, 4 февраля 2020 (UTC)
  • Думаю, от удаления этого абзаца большого вреда не будет. — Алексей Копылов 02:59, 5 февраля 2020 (UTC)

• Дело не в Ваших ощущениях, Alexei Kopylov, а в том, что этот абзац не имеет источников и портит текст, делает его алогичным и корявым. Вы уберите его уж по этой причине, а не потому что Вам кажется, что вреда не будет. Eozhik (обс.) 04:57, 6 февраля 2020 (UTC)