Обсуждение:Уравнение Дирака для графена

Дираковские точки

Немного исправил значения волновых векторов, отвечающих нулевой энергии. Теперь их модули равны между собой и отличаются лишь поворотом на 30 градусов. Таким образом, действительно, два независимых и противонаправленных, находящихся в сопряженных подрешётках обратной решётки. В остальном, статья - СУПЕР! Спасибо автору. Хаймович Иван 06:47, 10 декабря 2007 (UTC)

Спасибо, что исправили. (поворот на 60 градусов совмещает их). Alexander Mayorov 11:44, 10 декабря 2007 (UTC)

Общие замечания по теме

04.02.09. У меня сегодня плохое настроение с утра, и я не в форме… Поэтому мне хочется канализировать все неприятности в какую-то безопасную для меня форму. И поэтому я обращусь к «теории графена». И не потому, что я в ней разбираюсь, скорее всего я в ней полный чайник, ведь пролистал всего лишь несколько статей по теме, а всего лишь потому, что я ее пока не принимаю, хотя и добросовестно перевел несколько статей на украинский язык. Я уже давно заметил, что в последние лет 20 (с открытием высокотемпературной сверхпроводимости) в физике твердого тела творится что-то неладное. Т.е. периодически начали повторяться «шаманские пляски с бубнами» по поводу очередного открытия (сначала экспериментального, а потом и теоретического) какого-либо явления, потом набиралась критическая масса публикаций по теме, но проходило время (информационный шум все возрастал…), а воз и ныне оставался практически на исходных позициях… Это явление характерно не только для высокотемпературной сверхпроводимости, но и для дробного/целочисленного эффекта Холла, квантовых точек и антиточек, квантовых вычислений, и вот теперь для графена… Признаюсь честно, я долго терпел, но пару дней назад мне попалась публикация по «высокотемпературному квантовому эффекту Холла», мое терпение лопнуло, и я начал читать то, что можно прочитать в открытом доступе. Итак, замечания дилетанта:

1). Всем известно, что модель Кронига-Пенни сначала была разработана для одномерного случая (1М), и лишь потом была распространена на двумерный (2М) и трехмерный (3М) случаи. Безусловно, с увеличением размерности происходили определенные количественные изменения зонной структуры, но ведь никаких качественных не было. Т.е. «размерность кристаллической решетки» по умолчанию не влияет на сам характер образования «зонной структуры» (если не учитывать не принципиальных деталей). А в случае графена мы почему-то должны бросать нерелятивистскую квантовую теорию и переходить к релятивистской… Где, спрашивается, «точка сшивания» нерелятивистской и релятивистской теорий? Пока ясно одно, «статистическая теория Ферми» и в этом случае работает. Более того, она активно используется, ведь скорость Ферми используется как «мировая постоянная скорости света»! Но, независимо от модели зонной структуры, уровень Ферми должен находиться в «зоне проводимости», чтобы электроны имели возможность быть не только обобщенными (т.е. квазичастицами), но и имели бы возможность передвигаться по кристаллу. Чем же отличается графен от тривиального металла (не важно какой размерности)? А тем, что не все электроны принимают участие в различных гальваномагнитных явлениях. Более того, большая часть этих электронов – СВЯЗАНА (объяснения я так и не нашел), и только малая часть описывается уравнением Дирака и создает все эти «необычные эффекты»… Таким образом, основной вопрос – ЧТО связывает большую часть «классических электронов» возле уровня Ферми, и они теряют мобильность (и статическую и динамическую)?

2). Я не уверен, но что-то мне подказывает, что в основе нового подхода лежит идея об «непрерывном p-n-переходе»… Напомню, что известные переходы имеют асиметричные ВАХ, т.е. в одну сторону проводят, а в другую – нет. Поэтому их и назвали еще диодами… Не важно как изготавливаются современные металлургические переходы, но все они асимметричны и используют полупроводники с различным типом проводимости (в некоторых случая полупроводник заменяют металлом). Но даже в классическом подходе мы имеем т.н. «индуцированный переход» в МДП-структах, который также обладает свойством СИММЕТРИЧНОСТИ! Другое дело, что потом в МДП-транзисторах с помощью «карманов» противоположного типа (для истока и стока) осуществляют монополярную проводимость. Именно поэтому только в МДП-транзисторах и различают два режима работы – «сильной» (поверхностный потенциал больше двух потенциалов Ферми) и «слабой» (меньше двух потенциалов Ферми) инверсии. Но никому и в голову ведь не пришло в связи с симметричностью индуцированного перехода использовать для описания процессов уравнение Дирака, да еще и обнулять массы носителей тока.

Напомню, когда поверхностный потенциал в МДН структуре пересекает середину запрещенной зоны, индуцированныый канал становится СОБСТВЕННЫМ полупроводником, в котором дырки и электроны взаимно компенсируют заряды друг друга. Т.е. проводимость здесь будет обусловлена и дырками, и электронами, и будет отлична от бесконечности (какое-то максимальное значение) проводимость поверхности, но суммарный заряд носителей будет равным нулю… Вот я написал казалось тривиальные вещи для любого специалиста по полупроводниковым приборам, но ведь закралось и какое-то сомнение… В чем причина? А в том, что «эффект поля» исследовался интенсивно в начале 50-х годов (кстати и известным Бардиным), и сложилась определенная традиция представления результатов по проводимости. Дело в том, что экспериментально измерять проще и точнее не абсолютное значение проводимости, а относительное (т.е. разностное). За точку отсчета берут значение проводимости при плоских зонах (равна нулю! Но при этом следует не забывать, что тогда разностное сопротивление равно БЕСКОНЕЧНОСТИ! Но само абсолютное значение сопротивления никогда не равно бесконечности, а тем более при плоских зонах). Поэтому «разностная проводимость» и теоретическая кривая, и экспериментальная, всегда изображается в виде смещенной параболы, вершина которой находится в области отрицательных значений. Думается, что этот тривиальный трюк предоставления информации и сыграл злую шутку с индуцированными переходами, и о них как-то просто забыли… А вот теперь, вытянули на свет божий, правда уже в новом обличье.

Здесь важно подчеркнуть, что сама по себе «симметричность перехода» совсем не определяет необходимость использования уравнения Дирака. В индуцированных переходах симметричность паразитирует на традиционных моделях зонной структуры, в рамках которых носителями тока есть заряженные ферми частицы с ненулевой «эффективной массой». Более того, основной массив электронов, связанных с энергией Ферми здесь просто связан внутри «валентной зоны» и не принимает участия в гальваномагнитных процессах. И только малая часть электронов на хвосте распределения Ферми-Дирака в «зоне проводимости» участвует во всех гальваномагнитных явлениях и дала возможность создания современных микропроцессоров на МДП- транзисторах (за которые фирмы изготовители гребут сегодня большую маржу).

Очевидно, что высказывания «контра» должны как-то компенсироваться высказываниями «про», тем более что они есть…

1). Мне кажется, что графен послужил всего лишь поводом для популяризации весьма старых идей по представлению ВАКУУМА, как «кристаллической решетки» с определенными свойствами, порождающий в рамках уравнения Дирака «зоопарк элементарных частиц», и новых/старых физических категорий… В первую очередь фундаментальной постоянной – «скорости света» и… - «волнового сопротивления вакуума». Я понимаю, что «игра в бисер» со скоростью света (подмена ее на «скорость Ферми»), на первый взгляд кажется безобидным занятием…, а ведь она по умолчанию определяет и волновое сопротивление вакуума (в системе СГС размерность сопротивления равна скорости!). Таким образом, изменив «скорость света» ведь нужно менять и «волновое сопротивление»… Напомню, в рамках классических представлений мы имеем ДВЕ фундаментальные постоянные для сопротивления. Первая, квантово-механическая, квант сопротивления Холла (или постоянная Клитцинга), который определяется через фундаментальные постоянные как:

$R_{H}=h/e^{2}\$.

Вторая фундаментальная постоянная – классическое волновое сопротивление вакуума, введенное в начале 40-х годов Страттоном в классической электродинамике, и равное:

$\rho _{0}=2\alpha \cdot R_{H}\$.

Да, да, это классическое сопротивление также через постоянную тонкой структуры связано с квантом сопротивления Холла! Т.е. это классическое сопротивление выходит не совсем и классическим! Вот в чем основная проблема…

Далее…, сама по себе замена скорости света на скорость Ферми оказалась весьма специфической… Я имею в виду то, что было выбрано не произвольное значение скорости Ферми (как это бывает в реальных кристаллах), а определенное значение где-то в 300 раз меньшее от скорости света. Но это значение весьма близкое от удвоенного значения обратной постоянной тонкой структуры, равное 274! Вот и выходит, что в «действительности» для скорости Ферми бралось значение, равное:

$c\approx {\frac {2}{\alpha }}\cdot v_{F}\$.

Далее еще интереснее… произведение коэффициентов при волновом сопротивлении вакуума и скорости Ферми и дает нам знаменитую «ЧЕТВЕРКУ», которая в новой теории выполняет функцию «вырождения» зонной структуры:

${\frac {2}{\alpha }}\cdot 2\alpha =4\$,

а это уже и не смешно… Я понимаю, что авторы новой теории совсем не говорили об каком-то «волновом сопротивлении»… Но сказав «А», следует «Б», «В», и т.д. Т.е. рано или поздно, это кто-то заметил бы. И не самое плохое то, что первым заметил это я., поскольку я давно уже интересуюсь темой волнового сопротивления и немного набил руку…

2). Само по себе использование релятивистского уравнения Дирака еще не говорит об принадлежности данной области к «квантовой электродинамике» (КЭД)… Дело в том, что традиционно это уравнение рассматривается (во всяком случае при Союзе) в рамках классической «квантовой теории» (см. Давыдова А.С.). Если не обращать внимания на два кульбита (со скоростью света и «нулевой массой»), то в рамках подхода Дирака к движению релятивистской частицы с полуцелым спином возникают еще определенные ограничения… Я имею в виду т.н. «размазку» частицы в пространстве. Так вот, эта размазка должна быть порядка «комптоновской длины волны частицы»! Но само понятие комптоновской длины связано с т.н. корпускулярно-волновым дуализмом де Бройля (т.е. с материальными частицами определенной МАССЫ)… Очевидно, что частица с нулевой массой не имеет комптоновской длины…, и какую-то массу придется учитывать (малую, но учитывать). Мы безусловно привыкли к тому, что фотоны и нейтрино не имеют массы покоя… Но они и не описываются уравнением Дирака! Думаю, что «масса покоя» должна как-то коррелировать с размерами локализации в эффекте Холла (не имеет большого значения при каких температурах, ведь важно только значение магнитного поля).

3). Итак, за фасадом нового теоретического подхода в графене остались т.н. «волновое сопротивление» и «комптоновская длина волны»… Спрашивается в задачке, в каких других областях физики твердого тела (и искусственных систем) данные категории возникали естественным путем из экспериментальных исследований? И был ли «мальчик» вообще? Другими словами, например если есть классический симметричный переход (индуцированный) на кремнии, то не возникали ли на нем какие-либо «необычные явления», которые по умолчанию взывали бы к пересмотру (вернее к ДОПОЛНЕНИЮ) некоторых основ классической квантовой теории? Забегая наперед скажу, что новые явления не только наблюдаплись, но и опубликованы в открытой печати и в солидных технологических журналах. Но выполнены эти работы на КРЕМНИИ, и поэтому дальнейшее развитие этих тем было тривиально запрещено…

Так чем же отличается полупроводник КРЕМНИЙ от АРСЕНИД ГАЛЛИЯ или от ГРАФЕНА, если на последних камлания на бубнах РАЗРЕШЕНО, а на кремнии – НЕТ? Думаю, что ответ очевиден: на КРЕМНИИ базируется практически вся современная интегральная технология, на которой в свою очередь базируется современная информационная индустрия. Его производство и технология изготовления полупроводниковых приборов доведены до совершенства, и если где-то кто-то вдруг обнаружит что-то новое, которое имеет непредсказуемые последствия для современной инженерной технологии, причем за минимальные средства (не более месячной зарплаты на Западе), то это нужно пресечь (если не удается в корне, то последствия). Дело в том, что инженерные применения арсенид галлия весьма ограничены и поэтому не опасны для современных промышленных гигантов (об графене скромно умолчу). Поэтому открытие любых новых явлений на этих материалах также не опасно, и поэтому камлания над ними РАЗРЕШЕНО. Запрет камланий на КРЕМНИИ – это тривиальная самозащита таких крупных микропроцессорных гигантов индустрии, как Интел и АМД вследствие их боязни того, что современные кремниевые микропроцессоры весьма (во всяком случае потенциально) уязвимы к внешнему воздействию. Причем частота электромагнитного воздействия находится в «звуковом диапазоне», что совсем плохо. Т.е. имеется потенция того, что любой современный компьютер можно привести к сбоям и неработоспособности путем внешнего направленного воздействии низкочастотными электромагнитнывми волнами… К каким последствиям это может привести думаю объяснять нету необходимости.

Сегодня трудно сказать какие радикальные и новые открытия следует ожидать от нового материала графена, но ясно одно, что без учета ранее открытых явлений на кремнии продвижение вперед будет в лучшем случае затруднено, если вообще оно не скатится к известным камланиям над дробным эффектом Холла или над высокотемпературной сверхпроводимостью. Мне совсем не понятно почему открытые в средине 90-х годов квантовые явления в МДН- транзисторах при комнатных температурах такие как «квант площади», имеющий толщину порядка комптоновской длины волны электрона и волновое сопротивление порядка вакуумного до сих пор находятся за пределами внимания современной научной общественности.

O.L.Yakymakha, Y.M.Kalnibolotskij. Very-Low-Frequency Resonance of MOSFET Amplifier Parameters. Solid-State Electronics, vol.37,No.10,pp.1739-1751,1994 http://eprints.zu.edu.ua/2639/

O.L.Yakymakha, Y.M.Kalnibolotskij. Very-Low-Frequency (VLF) Investigations of the MOSFET's High-Order Derivatives. Solid-State Electronics, vol.38,No.3,pp.661-671,1995

А про т.н. «плоский атом» и говорить не приходится. Действительно, в начале 20-го века для описания объемного атома были брошены лучшие умы человечества, в результате чего и возникла квантовая механика, а вот за последние 15-ть лет не нашлось ни одного физика, который бы просто заинтересовался данной проблемой…. Неужели просто неинтересно, хотя бы проверить экспериментальные результаты (что они не очередная клюква), я не говорю об раздувании пузыря и битье в барабаны…

4). В работах Якимахи впервые в научный оборот введены понятия «квантовой емкости» и «квантовой индуктивности». Вызывает удивление, что для механического осциллятора мы имеем оба аналога и КЛАССИЧЕСКИЙ, и КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКИЙ, а вот для тривиального электромагнитного контура на емкости и индуктивности классический аналог есть, а квантово-механического нет! Т.е. квантовые емкости и индуктивности есть, а уравнения Шредингера для них – нет! А ведь вводится оно весьма элементарно. И как можно говорить об создании КЭД, когда уравнения для осциллятора пока отсутствует… Что-то мне подсказывает, что не исключено, что на графене также рано или поздно этот «плоский индуцированный атом» как-то вылезет. Естессно сам по себе он не появится, и нужно приложить определенные усилия, со стороны экспериментаторов, чтобы повторить условия на кремнии…, но для этого необходимо знать прошлое.

PS: Звыняюсь за столь длинные рефлексии, дык тема заела, да и само открытие графена в какой-то мере принадлежит России, и поэтому в какой-то мере здесь развивается.195.47.212.108 12:57, 4 февраля 2009 (UTC)

Спасибо за переводы статей на украинский язык. Может возьмётесь и за основную статью? Alexander Mayorov 22:28, 4 февраля 2009 (UTC)

Даже не знаю что ответить... Почему? См. ниже:195.47.212.108 06:48, 5 февраля 2009 (UTC)

Привет, пишу здесь первый раз по интуиции, не знаю что получится...

Зацепило обсуждение про графен - "общие замечания". Сделаю своих несколько комментариев.

1) Чувствую смутно тоже, что аналогия с безмассовыми дираковскими фермионами лишь красивый образ, но не может претендовать на полную физическую корректность. В зонной теории твердого тела масса квазичастицы не может быть равна нулю точно - это лишь некое "нулевое" приближение, простите за каламбур.

2) Недавно я столкнулся с тем фактом, что "волновое сопротивление вакуума" связано через постоянную тонкой структуры с "квантом сопротивления Холла". Но, "квант сопротивления Холла" в моем случае - это был квант сопротивления точечного контакта

$R_{0}=h/2e^{2}\$.

Вернее, более логичное понятие кванта проводимости, так как проводимость точечных контактов выражается как

$G=nG_{0}=n(2e^{2}/h)\$.

Квант проводимости по физическому смыслу есть (ток/единицу напряжения) в квази-одномерной атомной цепочке, дающая предельное (максимальное) значение проводимости цепочки в режиме "свободного движения электронов" - без рассеяния на примесях. Получить проводимость меньше можно, а больше нет. Оказывается, много было копий поломано в отношении что такое проводимость квазиодномерных проводников, начиная с работы Ландауэра. Тем не менее, формулу для G_0 можно обосновать на элементарном уровне через зонную теорию. G_0 есть величина именно характеристическая, не учитывающая атомной структуры конкретных атомов конкретных химических элементов.

Что касается "волнового сопротивления вакуума", или же импеданса свободного пространства (в системе СГС)

$Z_{0}=4\pi /c\$.

Эта величина строго говоря возникает в теории электрический цепей, генерации и детектирования радиоволн. Это волновое сопротивление характеризует скорость распространения энергии по линии передачи. В свободном пространстве эта величина оно 4\pi/ c, проводимость соответственно c/4\pi. Эта величина таки классическая, потому что здесь нет постоянной Планка. В свободном пространстве

$S=(c/4\pi )E^{2}=cE^{2}/4\pi \$.

то есть имеем связь между интенсивностью потока энергии и плотностью энергии, пропорциональных с точностью до скорости распространения энергии э/м волн - то есть скорости света. В итоге "волновая проводимость свободного пространства" это попросту скорость света, если отвлечься от теории электрических цепей. Сопротивление ведь в данном случае характеризует на омические(диссипативные) потери(которые безусловно присутствуют в цепях), а скорость передачи энергии.

Прямая аналогия между "квантом проводимости атомного канала" и "проводимостью свободного пространства" не усматривается, потому что разные физические величины входят в соотв. формулы (поле летит само, а электроны все-таки надо толкать прикладывая поле к цепочке атомов). Но, обе эти проводимость характеризуют предельную скорость распространения: заряда электронов для кванта проводимости, и энергии э/м поля для свободного пространства.

И то что отношение этих проводимостей выражается через постоянную тонкой структуры - в этом заложен какой то глубокий смысл. Хотя еще неясный точно, но я лично чувствую на интуитивном уровне. Там свободная волна (фотоны), здесь "свободные" (без рассеяния) электроны в "1-мерной конденсированной среде" на атомном(квантовом) уровне. Поток заряда(вещества) и поток света(энергии).

3) Что касается "скорости света в графене" - то это будет величина такого же генезиса как квант проводимости G_0, и так так же как квант проводимости равен G_0 лишь с точностью до коэф. порядка единицы, зависящим от структуры конкретного элемента - скорость ферми будет разной в разных квази-дмумерных системах. Да она и так разная в 3D-металлах, как хорошо известно из теории твердого тела.

"Мне совсем не понятно почему открытые в средине 90-х годов квантовые явления в МДН- транзисторах при комнатных температурах такие как «квант площади», имеющий толщину порядка комптоновской длины волны электрона и волновое сопротивление порядка вакуумного до сих пор находятся за пределами внимания современной научной общественности." - Мне кажется что здесь имеется в виду фермиевская (де-бройлевская) длина волны электрона. Именно эта величина входит в формулу сопротивления точечного контакта. У меня ощущения, что эти вещи обсуждаются научной общественностью (например я недавно столкнулся с обзором: H. van Houten, C.W.J. Beenakker, Quantum Point Contacts, http://arxiv.org/abs/cond-mat/0512609v1. Другое дело что здесь существуют альтернативные трактовки и модели явлений.

4) По поводу классического и квантового уравнений для электрического осциллятора на емкости и индуктивности. В том то и дело что квантовое уравнение есть! Это уравнение основано на концепции сопряжения потока в контуре и заряда на емкости как квантовых динамических переменных. На этой концепции основана вся теория кубитов, которая есть основа спекуляций по поводу пресловутого квантового компьютера и квантовых вычислений.

Другое дело, что, хотя кубиты как элементы с суперпозицией "макро" квантовых состояний существуют, но качественных кубитов до сих пор нет!!! Но это отдельная история что такое качественные кубиты. Хотя уже наворотили сотни статей про связанные кубиты, многокубитные процессоры. Вот это блеф так блеф, да полная профанация!!! Квантового компьютера не будет пока не отработают качественный квантовый бит. Да и когда отработают, следующий шаг - связь кубитов. Итд... Если это вообще возможно отработать. Это очень сложные э к с п е р и м е н т а л ь н ы е задачи. Вобщем раньше чем через 30 лет не ждите. Это не менее сложная задача чем термоядерный синтез.

Спасибо за комментарии про блеф с нулевой массой графена. Чую я что там какаято манипуляция. В физике полупроводников слабо понимаю...Можно ли сделать одноатомный двумерный проводник их кремния?.. Квазидвумерие изначально изучалось на полупроводниковых транзисторах, насколько я знаю. Но 2D электронный газ там организуется по своему и имеет свою специфику. 91.200.156.202 21:07, 11 апреля 2012 (UTC)

Осторожно - БЛЕФ

Вчерась, на мой взгляд я достаточно грубо обошелся с новой и перспективной темой графена, вернее к применению уравнения Дирака, да еще с нулевой массой. И мне стало вечером просто стыдно... Для того, чтобы снять с себя это чуство вины, я решил посмотреть одну из последних публикаций обзорного характера по графену в 50 страниц текста на аглицком. Так вот на 3-й странице я нашел "доказательство НУЛЕВОЙ массы" (на пол страницы текста!), и просидел весь вечер над ним... Опережая события скажу - "Снимаю шляпу пред изобретателями. Сделать из тривиальной задачки для средней школы цукерку, которою проглотили и докторанты, и фул профессоры, и даже солидные ноблеманы... Это круто!". Итак, по порядку:

1) К самому уравнению для определения "циклотронной массы" у меня нету замечаний. Оно верно, но только для "изотропной и ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ зоны"! Кто не верит, рекомендую посмотреть Ридли, в разделе посвященном уровням Ландау...

2) Вершиной блефа есть Рис.4, на котором приведена зависимость циклотронной массы от корня квадратного от концентрации носителей... На этом примере можно рассмотреть какие методы используют современные комбинаторы для запудривания мозгов простодушных ученых Запада и Востока... Действительно, имея в остатке полное отсутсвие наличия доказательства, представить все таким образом, чтобы у ЗРИТЕЛЯ создалось впечатление убедительности - это и есть высший пилотаж!

Первое, в действительности мы имеем не один рисунок а ДВА (правда в одном)! Для того, чтобы совместить два рисунка в один, пришлось ввести ОТРИЦАТЕЛЬНУЮ концентрацию носителей заряда... На первый взгляд ошибка не большая и знающий человек это быстро поймет (в действительности разные знаки перпед концентрациями возникают только при учете баланса зарядов в уравнении Пуассона...). Вот заряды могут быть и отрицательными, и положительными, а концентрация - никогда.

Второе, Из рисунка видно, что циклотронная масса изменялась в диапазоне от 8 до 2-х процентов от массы покоя электрона. Безусловно это МАЛОЕ значение, но не НУЛЕВОЕ! У зрителя лишь создается в мозгу эффект того, что масса стремиться к нулю. И вот этот "виртуальный нуль" и подменяет реальный даже у полных профессоров (ведь за прошедшие 4-ре года так никто и не схватил за руку).

Третье, из физики твердого тела известно, что концентрации ферми частиц подчиняются статистике Ферми-Дирака, и при не нулевых температурах имеем размазку носителей, почему их концетрации и представляют собой ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ функции. Так вот, во всех учебниках и монографиях зависимости концентраций от каких-либо параметров принято показывать в ЛОГАРИФМИЧЕСКОМ масштабе... Напомню, что в логарифмическом масштабе НУЛЬ никогда не достижим! А наши изобретатели использовали на рисунке 4 ЛИНЕЙНЫЙ масштаб, в котором создается оптическая иллюзия "достижимости нуля"... Делать предположения на основании ОДНОЙ декады, на БЕСКОНЕЧНУЮ область декад... Одно слово - высший пилотаж!195.47.212.108 06:48, 5 февраля 2009 (UTC)

Чтобы не быть голословным, приведу ссылку на статью:

"The electronic properties of graphene" Authors: A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres, K. S. Novoselov, A. K. Geim (Submitted on 7 Sep 2007 (v1), last revised 29 Feb 2008 (this version, v2)) http://arxiv.org/abs/0709.1163 195.47.212.108 08:03, 5 февраля 2009 (UTC)

Эти статьи будут полезны Частица в периодическом потенциале Циклотронная масса. Alexander Mayorov 17:15, 5 февраля 2009 (UTC)

Слава Богу, у вас уже есть статья об "циклотронной массе". Это сохранит мои силы и время... Вот только пассаж об "изотропности" и "параболичности" из Ридли я бы добавил. 195.47.212.108 06:00, 6 февраля 2009 (UTC)

Я привёл эти статьи чтобы вы озникомились с определениями и пересмотрели всё выще изложенное. Alexander Mayorov 16:09, 6 февраля 2009 (UTC)