Параллельность плоскостей

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Классическое определение[править | править вики-текст]

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек или совпадают.

Свойства

  • Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны
  • Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну
  • Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны
  • Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях

Признак

  • Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны

Пример 1[править | править вики-текст]

Плоскости ~2x-3y-4z+11 = 0 и ~-4x+6y+8z+36=0 параллельны, так как \frac{-4}{2} = \frac{6}{-3} = \frac{8}{-4}

Пример 2[править | править вики-текст]

Плоскости ~2x-3z-12 = 0 (A_1 = 2, B_1 = 0, C_1 = -3) и ~4x+4y-6z+7=0 (A_2 = 4, B_2 = 4, C_2 = -6) непараллельны, так как B_1 = 0, а B_2 \ne 0
Замечание. Если не только коэффициенты при координатах, но и свободные члены пропорциональны, то есть если
\frac{A_2}{A_1} = \frac{B_2}{B_1} = \frac{C_2}{C_1} = \frac{D_2}{D_1},[1] то плоскости совпадают. Так уравнения ~3x+7y+5z+4=0 и ~6x+14y+10z+8=0 представляют одну и ту же плоскость.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. при A_1,B_1,C_1,D_1 \neq 0. Если A_1 = 0, то A_2 = 0, \frac{B_2}{B_1} = \frac{C_2}{C_1}=\frac{D_2}{D_1}. Аналогично при B_1 = 0, C_1 = 0 или D_1=0.