Коллинеарность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Два коллинеарных противоположно направленных вектора

Коллинеа́рность — отношение параллельности векторов: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м синоним — «параллельные» векторы.

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

Обозначения[править | править исходный текст]

  • Коллинеарные векторы: \vec{a}\parallel\vec{b}
  • Сонаправленные векторы: \vec{a}\upuparrows\vec{b}
  • Противоположно направленные векторы: \vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}

Свойства коллинеарности[править | править исходный текст]

Пусть \vec{a},\vec{b},\vec{c} — векторы пространства \mathbb{R}^n. Тогда верны следующие утверждения:

  • Коллинеарность — отношение эквивалентности, то есть оно:
    1. рефлексивно: \vec{a}||\vec{a}
    2. симметрично: \vec{a}||\vec{b}\Leftrightarrow\vec{b}||\vec{a}
    3. транзитивно: \left(\vec{a}||\vec{b}\right)\land\left(\vec{b}||\vec{c}\right)\Rightarrow \left(\vec{a}||\vec{c}\right)
  • Нулевой вектор коллинеарен любому вектору: \vec{a}||\vec{0}
  • Скалярное произведение коллинеарных векторов \vec{a}\cdot\vec{b} = \pm a b равно произведению длин векторов (взятых со знаком «-», если векторы противоположно направлены)
  • Векторы на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда их псевдоскалярное произведение равно 0.
  • Коллинеарные векторы линейно зависимы.
  • Существует действительное число \;\lambda такое, что \vec{a} = \lambda\vec{b} для коллинеарных \vec{a} и \vec{b}, за исключением особого случая \vec{b}=\vec{0}. Это определения и также критерий коллинеарности.
  • На плоскости 2 неколлинеарных вектора \vec{a},\vec{b} образуют базис. Это значит, что любой вектор \vec{c} можно представить в виде: \vec{c}=x_1\vec{a}+x_2\vec{b}. Тогда \;\{x_1, x_2\} будут координатами \vec{c} в данном базисе.

Обобщения[править | править исходный текст]

Выше описанные критерии коллинеарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле, а как элементы произвольного линейного пространства.

Иногда коллинеарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной прямой.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]