Постоянная Капрекара

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Постоянная Капрекара — число, равное 6174.

Функция Капрекара[править | править исходный текст]

Число 6174 имеет следующую особенность. Выберем любое четырехзначное число n, больше 1000, в котором не все цифры одинаковы (всюду предполагается использование десятичной системы счисления, если не оговорено иное). Расположим цифры сначала в порядке возрастания, затем в порядке убывания. Вычтем из большего меньшее. Производя перестановки цифр и вычитания, нули следует сохранять. Описанное действие назовём функцией Капрекара K(n). Повторяя этот процесс с получающимися разностями, не более чем за семь шагов получим число 6174, которое будет затем воспроизводить само себя.

Это свойство числа 6174 было открыто в 1949 году индийским математиком Д. Р. Капрекаром, в честь которого оно и получило своё название.

Примеры[править | править исходный текст]

Для числа 3412:

4321 − 1234 = 3087 →
8730 − 378 = 8352 →
8532 − 2358 = 6174;

Для числа 1100:

1100 − 11 = 1089 →
9810 − 189 = 9621 →
9621 − 1269 = 8352 →
8532 − 2358 = 6174.

Обобщения[править | править исходный текст]

Среди трёхзначных чисел аналогичным свойством обладает 495 (процедура сходится к нему максимум через шесть итераций для любого 3-значного числа без повторяющихся цифр). Для чисел с бо́льшим, чем 4, числом знаков, преобразование Капрекара в большинстве случаев рано или поздно приводит к циклическим повторениям чисел, но не к неподвижной точке n = K(n). Для 5-значных чисел неподвижной точки не существует. Имеется два шестизначных числа, являющихся неподвижными точками преобразования Капрекара (549 945 и 631 764), семизначных чисел с таким свойством нет.

Легко доказать непосредственной проверкой, что любое число вида 633…331766…664 (где количество цифр в последовательностях шестёрок и троек одинаково) является неподвижной точкой n = K(n). Сама постоянная Капрекара тоже является числом этого вида. Однако не любая неподвижная точка может быть записана в таком виде.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

  • последовательность A099009 в OEIS — последовательность неподвижных точек функции Капрекара.
  • Weisstein, Eric W. Kaprekar Routine (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.