Программа Гильберта

Программа Гильберта в математике была сформулирована немецким математиком Давидом Гильбертом в начале 20-го века. Гильберт предположил, что согласованность более сложных систем, таких как теория функций вещественной переменной, может быть доказана в терминах более простых систем. В конечном счете, согласно его предположению, непротиворечивость всей математики может быть сведена к простой арифметике.

Теорема Гёделя о неполноте показала, что программа Гильберта не применима к большинству областей математики.

Основные заявления программы Гильберта

Основной целью программы Гильберта было обеспечить надежные основы для всей математики. В частности, это должно включать:

• Формулировка всей математики; другими словами, все математические утверждения должны быть написаны на точном формальном языке и управляться в соответствии с четко определёнными правилами.
• Комплектность: доказательство того, что все истинные математические утверждения могут быть формально доказаны.
• Последовательность: доказательство того, что в формализме математики не может быть получено никакого противоречия. Это доказательство согласованности должно предпочтительно использовать только «конечные» рассуждения о конечных математических объектах.
• Сохранение: доказательство того, что любой результат о «реальных объектах», полученный с использованием рассуждений об «идеальных объектах» (таких, как бесчисленные множества), может быть доказан без использования идеальных объектов.
• Алгоритмическая разрешимость: существует алгоритм для определения истинности или ложности любого математического утверждения.

См. также

• Теорема Гёделя о неполноте
• Арифметика Пеано
• Давид Гильберт
• Алгоритм Тарского

Литература

• G. Gentzen, 1936/1969. Die Widerspruchfreiheit der reinen Zahlentheorie. Mathematische Annalen 112:493-565. Translated as 'The consistency of arithmetic', in The collected papers of Gerhard Gentzen, M. E. Szabo (ed.), 1969.
• D. Hilbert. 'Die Grundlagen Der Elementaren Zahlentheorie'. Mathematische Annalen 104:485-94. Translated by W. Ewald as 'The Grounding of Elementary Number Theory', pp. 266—273 in Mancosu (ed., 1998) From Brouwer to Hilbert: The debate on the foundations of mathematics in the 1920s, Oxford University Press. New York.
• S.G. Simpson, 1988. Partial realizations of Hilbert’s program. Journal of Symbolic Logic 53:349-363.
• R. Zach, 2006. Hilbert’s Program Then and Now. Philosophy of Logic 5:411-447, arXiv: math/0508572 [math.LO].