Символическая динамика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Символическая динамика — объединяющее название класса динамических систем, для которых точками фазового пространства являются последовательности в некотором конечном алфавите «символов», а отображение заключается в сдвиге последовательности на один символ влево.

Простейшими примерами являются сдвиг Бернулли и сдвиг Маркова. Символическая динамика также возникает при рассмотрении отображения судьбы.

Базовые примеры[править | править исходный текст]

Сдвиг Бернулли[править | править исходный текст]

Схема левого сдвига Бернулли \omega'=\sigma(\omega) над пространством \Sigma_2 двусторонне-бесконечных последовательностей из нулей и единиц

Пусть \Sigma_s^{+} — пространство последовательностей в алфавите \{1,\dots,s\}, то есть,


\Sigma_s^{+}=\{(\omega_j)_{j=1}^{\infty} \mid \forall j \quad w_j\in \{1,\dots,s \} \}.

Сдвигом Бернулли называется динамическая система (\Sigma_s^{+},\sigma), где \sigma — отображение левого сдвига,

(\sigma(\omega))_j=\omega_{j+1}. \qquad (*)

Также рассматривают отображение левого сдвига на пространстве двусторонне-бесконечных последовательностей


\Sigma_s=\{(\omega_j)_{j=-\infty}^{\infty} \mid \forall j \quad w_j\in \{1,\dots,s \} \};

получающуюся динамическую систему (\Sigma_s,\sigma) также называют сдвигом Бернулли. При необходимости, для уточнения, какая из систем имеется в виду, называют первую систему односторонним сдвигом Бернулли, а вторую двусторонним.

Сдвиг Маркова[править | править исходный текст]

Отображение судьбы[править | править исходный текст]

В случае, если фазовое пространство динамической системы разбито в объединение непересекающихся множеств,


X=\bigsqcup_{i=1}^N B_j,

любой точке x\in X может быть поставлена в соответствие её судьба — последовательность номеров множеств, которые посещает её орбита:


x\mapsto (i_k), \quad f^k(x)\in B_{i_k}. \qquad (*)

При этом для необратимых динамических систем последовательность (i_k) односторонняя, т.е. k=0,1,2,\dots, а для обратимых систем обычно рассматривают двусторонне-бесконечные последовательности, k\in\Z.

Отображение h: X \to \Sigma_N или h: X \to \Sigma_N^+, заданное формулой (*), называется отображением судьбы (соответствующим данному разбиению фазового пространства). Такое отображение автоматически удовлетворяет соотношению


h\circ f = \sigma \circ h.

Хотя отображение судьбы априори не является ни сюрьективным, ни инъективным, ни непрерывным, оно часто применяется при построении сопряжений либо полусопряжений различных отображений. В случае, когда отображение судьбы инъективно, говорят о символическом кодировании динамики — поскольку применение отображения такая «замена координат» превращает в динамику на символическом пространстве \Sigma_N или на его части.

Свойства[править | править исходный текст]

Примеры[править | править исходный текст]


Инвариантные меры[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • П. Биллингслей, Эргодическая теория и информация.
  • В. И. Арнольд, Д. В. Аносов, Ю. С. Ильяшенко, и др., Динамические системы-1, ВИНИТИ.
  • Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1