Символическая динамика

Символическая динамика — объединяющее название класса динамических систем, для которых точками фазового пространства являются последовательности в некотором конечном алфавите «символов», а отображение заключается в сдвиге последовательности на один символ влево.

Простейшими примерами являются сдвиг Бернулли и сдвиг Маркова. Символическая динамика также возникает при рассмотрении отображения судьбы.

Базовые примеры

Сдвиг Бернулли

Схема левого сдвига Бернулли $\omega '=\sigma (\omega )$ над пространством $\Sigma _{2}$ двусторонне-бесконечных последовательностей из нулей и единиц

Пусть $\Sigma _{s}^{+}$ — пространство последовательностей в алфавите $\{1,\dots ,s\}$, то есть,

$\Sigma _{s}^{+}=\{(\omega _{j})_{j=1}^{\infty }\mid \forall j\quad w_{j}\in \{1,\dots ,s\}\}.$

Сдвигом Бернулли называется динамическая система $(\Sigma _{s}^{+},\sigma )$, где $\sigma$ — отображение левого сдвига,

$(\sigma (\omega ))_{j}=\omega _{j+1}.\qquad (*)$

Также рассматривают отображение левого сдвига на пространстве двусторонне-бесконечных последовательностей

$\Sigma _{s}=\{(\omega _{j})_{j=-\infty }^{\infty }\mid \forall j\quad w_{j}\in \{1,\dots ,s\}\};$

получающуюся динамическую систему $(\Sigma _{s},\sigma )$ также называют сдвигом Бернулли. При необходимости, для уточнения, какая из систем имеется в виду, называют первую систему односторонним сдвигом Бернулли, а вторую двусторонним.

Отображение судьбы

В случае, если фазовое пространство динамической системы разбито в объединение непересекающихся множеств,

$X=\bigsqcup _{i=1}^{N}B_{i},$

любой точке $x\in X$ может быть поставлена в соответствие её судьба — последовательность номеров множеств, которые посещает её орбита:

$x\mapsto (i_{k}),\quad f^{k}(x)\in B_{i_{k}}.\qquad (*)$

При этом для необратимых динамических систем последовательность $(i_{k})$ односторонняя, т.е. $k=0,1,2,\dots$, а для обратимых систем обычно рассматривают двусторонне-бесконечные последовательности, $k\in \mathbb {Z}$.

Отображение $h:X\to \Sigma _{N}$ или $h:X\to \Sigma _{N}^{+}$, заданное формулой (*), называется отображением судьбы (соответствующим данному разбиению фазового пространства). Такое отображение автоматически удовлетворяет соотношению

$h\circ f=\sigma \circ h.$

Хотя отображение судьбы априори не является ни сюръективным, ни инъективным, ни непрерывным, оно часто применяется при построении сопряжений либо полусопряжений различных отображений. В случае, когда отображение судьбы инъективно, говорят о символическом кодировании динамики — поскольку применение отображения такая «замена координат» превращает в динамику на символическом пространстве $\Sigma _{N}$ или на его части.

Литература

• П. Биллингслей, Эргодическая теория и информация.
• В. И. Арнольд, Д. В. Аносов, Ю. С. Ильяшенко, и др., Динамические системы-1, ВИНИТИ.
• Каток А. Б., Хассельблат Б.. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.