Проект:Математика/ФАН
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Список основных тем по функану.
Метрические пространства
[править код]Метрические и топологические пространства. Примеры: . Неравенства Гёльдера и Минковского.
- Компактность и центрированные системы замкнутых множеств
- Критерий компактности
- Теорема Арцела — Асколи
- Эпсилон-энтропия и размерность Минковского
- Конечномерность и бесконечномерность, норма и скалярное произведение
- Эквивалентность норм в конечномерном пространстве
- Банаховы и гильбертовы пространства
- Сходимость рядов в нормированном пространстве. Пространства : сходимость в среднем, сходимость по мере
- Некомпактность замкнутого единичного шара в бесконечномерном пространстве, критерий конечномерности пространства
- Лемма о почти перпендикуляре
- Характеристическое свойство евклидовых пространств
- Понятие линейного топологического пространства
- Теорема Рисса о проекции
- Сепарабельность гильбертовых пространств
- Связь непрерывности и ограниченности линейного оператора
- Топологии в пространстве операторов . Норма оператора. Полнота нормированного пространства
- Непрерывность оператора, константа Липшица
- Задача о продолжении непрерывного отображения. Продолжение линейного ограниченного оператора на замыкание области определения
- Принцип равномерной ограниченности
- Поточечная сходимость и сходимость по норме
- Теорема Банаха — Штейнгауза
- Полнота пространства относительно поточечной сходимости
Типы множеств
[править код]- Нигде не плотное множество, нигде не плотность и (мера 0, компактность в нормированном пространстве)
- Категория Бэра
- Липшицева функция, нигде не липшицевы, нигде не дифференцируемые функции
- Обратимость линейного, ограниченного снизу () оператора
- Открытость множества обратных операторов в L(X,Y)
- Обратимость возмущённого оператора
- Теорема Банаха об обратном операторе. Резольвентное множество оператора, спектр и его компоненты
Аналитические свойства резольвенты
[править код]- Операторнозначные функции комплексного переменного. Аналитичность резольвенты. Спектральный радиус
- Теорема Куранти
Сопряжённое пространство. Теорема Рисса — Фреше. Теорема Хана — Банаха
[править код]- Функционалы в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса — Фреше
- Теорема Хана — Банаха в пространстве без нормы и нормированном пространстве, её следствия (о достаточном числе функционалов в усиленной форме)
- Банахов предел
- Подалгебры в C(K), теорема Капутани — Крейна
- Теорема Стоуна — Вейерштрасса, вещественный и комплексный случаи
Слабая сходимость в банаховом пространстве
[править код]- Изометричность вложения E в E**. Критерий слабой сходимости последовательности
- Слабая сходимость и ограниченные операторы. Формулировка теоремы Банаха — Тихонова о слабой секвенциальной компактности единичного шара
Плотность и приближения
[править код]- Множества, плотные в : ступенчатые функции
- Плотность гладких функций в ; непрерывность в среднем элементов
- Теорема об ЭНП (элементе наилучшего приближения) в гильбертовом пространстве (существование и вариационное неравенство)
- Элемент наилучшего приближения к подпространству. Ортогональные дополнения и ортогональные проекторы
- Проектор на конечномерное пространство
Ряды
[править код]- Сходимость ортогональных рядов; ряды Фурье, неравенство Бесселя, равенство Парсеваля
- Теорема Рисса — Фишера
- Теорема Радона — Никодима для мер
- Заряды. Теорема об ограниченности заряда
- Разложение заряда по Хану
- Разложение заряда по Жордану; интеграл по заряду, теорема Радона — Никодима для зарядов; вариаций заряда
Функционалы
[править код]- Рефлексивность
- Функционалы на C(K)
- Пространства с системой полунорм; критерий непрерывности линейного оператора
- Функционал Минковского
- Геометрическая форма теоремы Хана — Банаха, Следствие об отделимости замкнутых множеств
- Теорема Крейна — Мильмана
- Слабое замыкание выпуклых множеств
- Слабая сходимость
- Компактность в слабой топологии (теорема Банаха-Алаоглу[ы])
Мера и интеграл Лебега
[править код]- Теорема Ляпунова о векторной мере
- Метризуемость *слабой топологии шара в X*
- Метрика Хатчиссона
- Существование неподвижной меры для конечного набора сжатий
- Существование неподвижного компакта и его размерность
- Теоремы об открытом отображении и замкнутом графике
- Схема распространения меры с алгебры на s-алгебру измеримых множеств
- Измеримые функции
- Интеграл Лебега (определение и основные свойства). Теоремы Лебега, Фату, Беппо Леви, Фубини. Примеры применения этих теорем в курсе уравнений математической физики
- Пространства , их сепарабельность, полнота
- Норма сопряжённого оператора. Теорема об обратимости сопряжённого оператора
- Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. Равенство
- Двойственный критерий
- Свойства квадратичной формы (Ax, x) и собственных значений самосопряжённого оператора A
- Разложение гильбертова пространства, где A — самосопряжённый оператор
- Критерий принадлежности числа спектру. Вещественность спектра самосопряжённого оператора
- Теорема о спектре самосопряжёного оператора:
- Свойства компактных операторов (включая оператор с непрерывным ядром и лемму о сходимости), основные свойства комплексных операторов, лемма о замкнутости образа
- Свойства собственных значений компактного оператора
- Оператор с ядром Гильберта — Шмидта
- Альтернатива Фредгольма
- Теорема Фредгольма для компактных самосопряжённых операторов
- Спектр компактного самосопряжённого оператора. Теорема Гильберта-Шмидта