Рациональное число: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории

[отпатрулированная версия]

[непроверенная версия]

← Предыдущая правка Следующая правка →

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Линейный

Версия от 15:27, 23 сентября 2020

Hello World!

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+Hello World!
-[[Файл:Fracciones.gif|thumb|251px|Четверти]]
-'''Рационáльное числó''' ({{lang-la|[[wikt:ratio#Латинский|ratio]]}} «отношение, деление, дробь») — число, которое можно представить [[дробь (математика)#Обыкновенные дроби|обыкновенной дробью]] <math>\frac{m}{n}</math>, числитель <math>m</math> — [[целое число]], а знаменатель <math>n</math> — [[натуральное число]]. К примеру <math>\frac{2}{3}</math>, где <math>m = 2</math>, а <math>n = 3</math>. Понятие дроби возникло несколько тысяч лет назад, когда, сталкиваясь с необходимостью измерять некоторые величины (длину, вес, площадь и т. п.), люди поняли, что не удаётся обойтись целыми числами и необходимо ввести понятие доли: половины, трети и т. п. Дробями и операциями над ними пользовались, например, [[шумеры]], [[Математика в Древнем Египте|древние египтяне]] и [[Математика в Древней Греции|греки]].
-== Множество рациональных чисел ==
-Множество рациональных чисел обозначается <math>\mathbb{Q}</math> (от {{lang-lat|quotient}}, «частное») и может быть записано в таком виде:
-: <math>\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, \ n \in \mathbb{N} \right\}.</math>
-Другими словами, числитель (m) может иметь знак, а знаменатель (n) должен быть натуральным числом.
-При этом оказывается, что разные записи могут представлять одну и ту же дробь, например, <math>\frac{3}{4}</math> и <math>\frac{9}{12}</math>, (все дроби, которые можно получить друг из друга умножением или делением числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число, представляют одно и то же рациональное число). Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их [[наибольший общий делитель]] можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве ''несократимых'' дробей со [[Взаимно простые числа|взаимно простыми]] целым числителем и натуральным знаменателем:
-: <math>\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, \ n \in \mathbb{N}, \ \gcd(m,n) = 1 \right\}.</math>
-Здесь <math>\gcd(m, n)</math> — наибольший общий делитель чисел <math>m</math> и <math>n</math>.
-Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества [[Целое число|целых чисел]]. Легко видеть, что если у рационального числа <math>a=\frac{m}{n}</math> знаменатель <math>n=1</math>, то <math>a=m</math> является целым числом.
-Множество рациональных чисел располагается [[Плотное множество|всюду плотно]] на [[Числовая ось|числовой оси]]: между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел). Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел имеет [[Счётное множество|счётную мощность]] (то есть все его элементы можно перенумеровать). Со времён [[Древняя Греция|древних греков]] известно о существовании чисел, не представимых в виде дроби: они доказали, что не существует рационального числа, квадрат которого равен двум. Недостаточность рациональных чисел для выражения всех величин привела в дальнейшем к понятию [[Вещественное число|вещественного числа]]. В отличие от множества вещественных чисел (которое соответствует [[Одномерное пространство|одномерному пространству]]), множество рациональных чисел [[Нульмерное пространство|имеет меру нуль]].
-== Терминология ==
-=== Формальное определение ===
-{{see also|Кольцо частных}}
-Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар <math>\left\{ (m,\;n) \mid m \in \mathbb{Z},\;n \in \mathbb{N} \right\}</math> по [[отношение эквивалентности|отношению эквивалентности]] <math>(m,\;n)\sim (m',\;n')</math>, если <math>m\cdot n'=m'\cdot n</math>. При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:
-* <math>\left(m_1,\;n_1\right) + \left(m_2,\;n_2\right) = \left(m_1\cdot n_2 + m_2\cdot n_1,\;n_1\cdot n_2\right);</math>
-* <math>\left(m_1,\;n_1\right)\cdot\left(m_2,\;n_2\right) = \left(m_1\cdot m_2,\;n_1 \cdot n_2\right).</math>
-=== Связанные определения ===
-{{see also|Дробь (математика)}}
-==== Правильные, неправильные и смешанные дроби ====
-'''''Правильной''''' называется дробь, у которой [[абсолютная величина|модуль]] числителя меньше модуля знаменателя. Правильные дроби представляют рациональные числа, по модулю меньшие [[1 (число)|единицы]]. Дробь, не являющаяся правильной, называется '''''неправильной''''' и представляет рациональное число, большее или равное единице по модулю.
-Неправильную дробь можно представить в виде [[сложение|суммы]] целого числа и правильной дроби, называемой '''''смешанной дробью'''''. Например, <math>2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}</math>. Подобная запись (с пропущенным знаком сложения), хотя и употребляется в элементарной [[арифметика|арифметике]], избегается в строгой математической литературе из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.
-==== Высота дроби ====
-'''''Высота обыкновенной дроби''''' — это сумма модуля числителя и знаменателя этой дроби.
-'''''Высота рационального числа''''' — это сумма модуля числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу<ref>{{книга|автор=Шиханович Ю. А.|заглавие=Введение в современную математику (Начальные понятия) |место=М.|издательство=Наука|год=1965 |страницы=191 |страниц=376}}</ref>.
-Например, чтобы узнать высоту дроби <math>-\frac{15}{6}</math> нужно сначала из неё получить несократимую дробь. Несократимая дробь будет выглядеть так: <math>-\frac{5}{2}</math>. Потом нужно сложить модуль числителя и знаменатель: <math>5+2=7</math>. Значит высота дроби <math>-\frac{15}{6}</math> равна <math>7</math>.
-=== Комментарий ===
-Термин '''дробное число (дробь)''' иногда{{уточнить}} используется как синоним к термину ''рациональное число'', а иногда синоним любого нецелого числа. В последнем случае дробные и рациональные числа являются разными вещами, так как тогда нецелые рациональные числа — всего лишь частный случай дробных.
-== Свойства ==
-=== Основные свойства ===
-Множество рациональных чисел удовлетворяют шестнадцати основным [[свойство (логика)|свойствам]], которые легко могут быть получены из свойств [[Целое число|целых чисел]].<ref name="ilyin">{{книга
-|автор        = [[Ильин, Владимир Александрович (математик)|{{nobr|В. А. Ильин}}]], [[Садовничий, Виктор Антонович|{{nobr|В. А. Садовничий}}]], [[Сендов, Благовест|{{nobr|Бл. Х. Сендов}}]].
-|часть = Глава 2. Вещественные числа
-|заглавие = Математический анализ
-|ссылка = http://sci-lib.com/book000401.html
-|ответственный= {{nobr|Под ред. [[Тихонов, Андрей Николаевич|А. Н. Тихонова]]}}
-|издание = {{nobr|3-е изд.}}, перераб. и доп
-|место = М.
-|издательство = Проспект
-|год = 2006
-|том = 1
-|страницы = 30—31
-|страниц = 672
-|isbn = 5-482-00445-7
-}}</ref>
-# '''[[Отношение порядка|Упорядоченность]].''' Для любых рациональных чисел <math>a</math> и <math>b</math> существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх [[Отношение (теория множеств)|отношений]]: «<math><</math>», «<math>></math>» или «<math>=</math>». Это правило называется ''правилом упорядочения'' и формулируется следующим образом:
-#* два неотрицательных числа <math>a=\frac{m_a}{n_a}</math> и <math>b=\frac{m_b}{n_b}</math> связаны тем же отношением, что и два целых числа <math>m_a \cdot n_b</math> и <math>m_b \cdot n_a</math>;
-#* два отрицательных числа <math>a</math> и <math>b</math> связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа <math>\left| b \right|</math> и <math>\left| a \right|</math>;
-#* если же <math>a</math> неотрицательно, а <math>b</math> — отрицательно, то <math>a>b</math>.
-#: <math>\forall a,b \in \mathbb{Q} ~ \left( a<b \lor a>b \lor a=b \right)</math>
-#: [[Файл:Suma fracciones.jpg|thumb|300px|Суммирование дробей]]
-# '''[[Сложение|Операция сложения]].''' Для любых рациональных чисел <math>a</math> и <math>b</math> существует бинарная операция ''сложение'', которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число <math>c</math>. При этом само число <math>c</math> называется ''[[Сумма (математика)|суммой]]'' чисел <math>a</math> и <math>b</math> и обозначается <math>\left( a+b \right)</math>, а процесс отыскания такого числа называется ''[[Сложение (математика)|сложением]]''. Правило сложения имеет следующий вид: <math>\frac{m_a}{n_a}+\frac{m_b}{n_b}=\frac{m_a \cdot n_b + m_b \cdot n_a}{n_a \cdot n_b}</math>; <math>\forall a,b \in \mathbb{Q} ~ \exists! \left( a+b \right) \in \mathbb{Q}.</math>
-# '''[[Умножение|Операция умножения]].''' Для любых рациональных чисел <math>a</math> и <math>b</math> существует бинарная операция ''умножение'', которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число <math>c</math>. При этом само число <math>c</math> называется ''произведением'' чисел <math>a</math> и <math>b</math> и обозначается <math>\left( a \cdot b \right)</math>, а процесс отыскания такого числа также называется ''[[умножение]]м''. Правило умножения имеет следующий вид: <math>\frac{m_a}{n_a} \cdot \frac{m_b}{n_b}=\frac{m_a \cdot m_b}{n_a \cdot n_b}</math>; <math>\forall a,b \in \mathbb{Q} ~ \exists \left( a \cdot b \right) \in \mathbb{Q}</math>.
-# '''[[Транзитивность]] отношения порядка.''' Для любой тройки рациональных чисел <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> если <math>a</math> меньше <math>b</math> и <math>b</math> меньше <math>c</math>, то <math>a</math> меньше <math>c</math>, а если <math>a</math> равно <math>b</math> и <math>b</math> равно <math>c</math>, то <math>a</math> равно <math>c</math>.
-#: <math>\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~ \left( a<b \land b<c \Rightarrow a<c \right) \land \left( a=b \land b=c \Rightarrow a=c \right)</math>
-# '''[[Коммутативная операция|Коммутативность]] сложения.''' От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.
-#: <math>\forall a,b \in \mathbb{Q} ~~ a+b=b+a</math>
-# '''[[Ассоциативность (математика)|Ассоциативность]] сложения.''' Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
-#: <math>\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~~ \left( a + b \right) + c = a + \left( b + c \right)</math>
-# '''Наличие [[0 (число)|нуля]].''' Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.
-#: <math>\exists 0 \in \mathbb{Q} ~ \forall a \in \mathbb{Q} ~~ a+0=a</math>
-# '''Наличие противоположных чисел.''' Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.
-#: <math>\forall a \in \mathbb{Q} ~ \exists \left( -a \right) \in \mathbb{Q} ~~ a + \left( -a \right) = 0</math>
-# '''Коммутативность умножения.''' От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.
-#: <math>\forall a,b \in \mathbb{Q} ~~ a \cdot b = b \cdot a</math>
-# '''Ассоциативность умножения.''' Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
-#: <math>\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~~ \left( a \cdot b \right) \cdot c = a \cdot \left( b \cdot c \right)</math>
-# '''Наличие [[1 (число)|единицы]].''' Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.
-#: <math>\exists 1 \in \mathbb{Q} ~ \forall a \in \mathbb{Q} ~~ a \cdot 1 = a</math>
-# '''Наличие [[Обратное число|обратных чисел]].''' Любое ненулевое рациональное число имеет обратное рациональное число, умножение на которое даёт 1.
-#: <math>\forall a \in \mathbb{Q} ~ \exists a^{-1} \in \mathbb{Q} ~~ a \cdot a^{-1} = 1</math>
-# '''[[Дистрибутивность]] умножения относительно сложения.''' Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:
-#: <math>\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~~ \left( a+b \right) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c</math>
-# '''Связь отношения порядка с операцией сложения.''' К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.
-#: <math>\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~~ a<b \Rightarrow a+c<b+c</math>
-# '''Связь отношения порядка с операцией умножения.''' Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.
-#: <math>\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~~ c>0 \land a<b \Rightarrow a \cdot c < b \cdot c</math>
-# '''[[Аксиома Архимеда]].''' Каково бы ни было рациональное число <math>a</math>, можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт <math>a</math>.
-#: <math>\forall a \in \mathbb{Q} ~ \exists n \in \mathbb{N} ~~ \sum_{k=1}^{n}1>a</math>
-=== Дополнительные свойства ===
-Все остальные свойства, присущие рациональным числам, не выделяют в основные, потому что они, вообще говоря, уже не опираются непосредственно на свойства целых чисел, а могут быть доказаны исходя из приведённых основных свойств или непосредственно по определению некоторого математического объекта. Таких дополнительных свойств очень много. Здесь имеет смысл привести лишь некоторые из них.
-* Отношение порядка «>» (с противоположным порядком аргументов) также транзитивно.
-*: <math>\forall a,b,c \in \mathbb{Q} ~~ a>b \land b>c \Rightarrow a>c</math>
-* Произведение любого рационального числа на ноль равно нулю.
-*: <math>\forall a \in \mathbb{Q} ~~ a \cdot 0 = 0</math>
-* Рациональные неравенства одного знака можно почленно складывать.
-*: <math>\forall a,b,c,d \in \mathbb{Q} ~~ a>b \land c>d \Rightarrow a+c>b+d</math>
-* Множество рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> является [[Поле (алгебра)|полем]] (а именно, [[поле частных|полем частных]] кольца целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>) относительно операций сложения и умножения дробей.
-*: <math>\left(\mathbb{Q}, +, \cdot \right)</math> — поле
-* В [[позиционная система счисления|позиционной системе счисления]] рациональное число представляется [[периодическая дробь|периодической дробью]]. Более того, наличие представления в виде периодической дроби является [[критерий (логика)|критерием]] рациональности вещественного числа.
-* Каждое рациональное число является [[алгебраическое число|алгебраическим]].
-*: <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{A}</math>
-* Между любыми двумя различными рациональными числами <math>a</math> и <math>b</math> существует хотя бы одно рациональное число <math>x</math>, такое, что <math>a<x</math> и <math>x<b</math>. (В качестве примера такого числа можно взять <math>x = \textstyle{\frac{a+b}{2}}</math>.) Ясно, что между <math>a</math> и <math>x</math>, а также между <math>x</math> и <math>b</math> тоже существует хотя бы по одному рациональному числу. Отсюда следует, что между любыми двумя различными рациональными числами <math>a</math> и <math>b</math> существует бесконечно много рациональных чисел. Иначе говоря, не существует двух соседних рациональных чисел. В частности, не существует наименьшего положительного рационального числа.
-* Не существует наибольшего и наименьшего рационального числа. Для любого рационального числа <math>x</math> найдутся рациональные (и даже целые) числа <math>a</math> и <math>b</math> такие, что <math>a<x</math> и <math>x<b</math>.
-== Счётность множества ==
-[[Файл:Diagonal argument.svg|thumb|300px|Нумерация положительных рациональных чисел]]
-Чтобы оценить количество рациональных чисел, нужно найти [[Мощность множества|мощность]] их множества. Легко доказать, что множество рациональных чисел [[Счётное множество|счётно]]. Для этого достаточно привести алгоритм, который нумерует рациональные числа, то есть устанавливает [[Биекция|биекцию]] между множествами рациональных и натуральных чисел.
-Примером такого построения может служить следующий простой алгоритм. Составляется бесконечная таблица обыкновенных дробей, на каждой <math>i</math>-ой строке в каждом <math>j</math>-ом столбце которой располагается дробь <math>\frac{i}{j}</math>. Для определённости считается, что строки и столбцы этой таблицы нумеруются с единицы. Ячейки таблицы обозначаются <math>\left( i,j \right)</math>, где <math>i</math> — номер строки таблицы, в которой располагается ячейка, а <math>j</math> — номер столбца.
-Полученная таблица обходится «змейкой» по следующему формальному алгоритму.
-* Если текущее положение <math>\left( i,j \right)</math> таково, что <math>i</math> — [[Чётные и нечётные числа|нечётное]], а <math>j=1</math>, то следующим положением выбирается <math>\left( i+1,j \right)</math>.
-* Если текущее положение <math>\left( i,j \right)</math> таково, что <math>i=1</math>, а <math>j</math> — чётное, то следующим положением выбирается <math>\left( i,j+1 \right)</math>.
-* Если для текущего положения <math>\left( i,j \right)</math> сумма индексов <math>\left( i+j \right)</math> нечётна, то следующее положение — <math>\left( i-1,j+1 \right)</math>.
-* Если для текущего положения <math>\left( i,j \right)</math> сумма индексов <math>\left( i+j \right)</math> чётна, то следующее положение — <math>\left( i+1,j-1 \right)</math>.
-Эти правила просматриваются сверху вниз и следующее положение выбирается по первому совпадению.
-В процессе такого обхода каждому новому рациональному числу ставится в соответствие очередное натуральное число. То есть дроби <math>1/1</math> ставится в соответствие число 1, дроби <math>2/1</math> — число 2, и т. д. Нужно отметить, что нумеруются только несократимые дроби. Формальным признаком несократимости является равенство единице [[Наибольший общий делитель|наибольшего общего делителя]] числителя и знаменателя дроби.
-Следуя этому алгоритму, можно занумеровать все положительные рациональные числа. Это значит, что множество положительных рациональных чисел <math>\mathbb{Q}_+</math> счётно. Легко установить биекцию между множествами положительных и отрицательных рациональных чисел, просто поставив в соответствие каждому рациональному числу противоположное ему. Т. о. множество отрицательных рациональных чисел <math>\mathbb{Q}_-</math> тоже счётно. Их объединение <math>\mathbb{Q}_+ \cup \mathbb{Q}_-</math> также счётно по свойству счётных множеств. Множество же рациональных чисел <math>\mathbb{Q}=\mathbb{Q}_+ \cup \mathbb{Q}_- \cup \left\{ 0 \right\}</math> тоже счётно как объединение счётного множества с конечным.
-Разумеется, существуют и другие способы занумеровать рациональные числа. Например, для этого можно воспользоваться такими структурами как [[дерево Калкина — Уилфа]], [[дерево Штерна — Броко]] или [[ряд Фарея]].
-Утверждение о счётности множества рациональных чисел может вызывать некоторое недоумение, так как на первый взгляд складывается впечатление, что оно гораздо обширнее множества натуральных чисел. На самом деле это не так и натуральных чисел хватает, чтобы занумеровать все рациональные.
-== Недостаточность рациональных чисел ==
-[[Файл:Square root of 2 triangle.svg|thumb|300px|Гипотенуза такого треугольника не выражается никаким рациональным числом]]
-В [[геометрия|геометрии]] следствием так называемой [[аксиома Архимеда|аксиомы Архимеда]] (в более общем понимании, чем упомянуто выше) является возможность построения сколь угодно малых (то есть, коротких) величин, выражаемых рациональными числами вида <math>1/n</math>. Этот факт создаёт обманчивое впечатление, что рациональными числами можно измерить вообще любые геометрические [[Расстояние|расстояния]]. Легко показать, что это не верно.
-Из [[Теорема Пифагора|теоремы Пифагора]] известно, что [[гипотенуза]] прямоугольного [[треугольник]]а выражается как [[квадратный корень]] суммы [[Квадрат (алгебра)|квадратов]] его [[катет]]ов. Т. о. длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с единичным катетом равна <math>\sqrt{2}</math>, то есть числу, квадрат которого равен 2.
-Если допустить, что число <math>\sqrt{2}</math> представляется некоторым рациональным числом, то найдётся такое целое число <math>m</math> и такое натуральное число <math>n</math>, что <math>\sqrt{2}=\frac{m}{n}</math>, причём дробь <math>\frac{m}{n}</math> несократима, то есть числа <math>m</math> и <math>n</math> — [[Взаимно простые числа|взаимно простые]].
-Если <math>\sqrt{2}=\frac{m}{n}</math>, то <math>2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} = \frac{m^2}{n^2}</math>, то есть <math>m^2 = 2n^2</math>. Следовательно, число <math>m^2</math> чётно, но произведение двух нечётных чисел нечётно, что означает, что само число <math>m</math> также чётно. А значит найдётся натуральное число <math>k</math>, такое что число <math>m</math> можно представить в виде <math>m=2k</math>. Квадрат числа <math>m</math> в этом смысле <math>m^2=4k^2</math>, но с другой стороны <math>m^2 = 2n^2</math>, значит <math>4k^2 = 2n^2</math>, или <math>n^2 = 2k^2</math>. Как уже показано ранее для числа <math>m</math>, это значит, что число <math>n</math> — чётно, как и <math>m</math>. Но тогда они не являются взаимно простыми, так как оба делятся на [[2 (число)|2]]. Полученное противоречие доказывает, что <math>\sqrt{2}</math> не есть рациональное число.
-Из вышесказанного следует, что существуют отрезки на плоскости, а, значит, и на [[Числовая ось|числовой прямой]], которые не могут быть измерены рациональными числами. Это приводит к возможности расширения понятия рациональных чисел до [[Вещественное число|вещественных]].
-== См. также ==
-* [[Дроби Фарея]]
-* [[Иррациональные числа]]
-* [[Непрерывная дробь]]
-== Примечания ==
-{{примечания}}
-== Литература ==
-* И.Кушнир. Справочник по математике для школьников. — Киев: АСТАРТА, 1998. — 520 с.
-* П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: глав. ред. физ.-мат. лит. изд. «Наука», 1977
-* И. Л. Хмельницкий. Введение в теорию алгебраических систем
-{{Числа}}
-{{Алгебраические числа}}
 [[Категория:Числа]]
 [[Категория:Алгебраические числа]]

Рациональное число: различия между версиями

Версия от 15:27, 23 сентября 2020

Навигация

Поиск