Метрика Лоренца

Метрика Лоренца — псевдометрика естественно возникающая в общей теории относительности

Плоское пространство Минковского с координатами $(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)\$, используемое в специальной теории относительности, имеет метрический тензор

$g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\$

(под $x^{1},x^{2},x^{3}$ здесь подразумеваются обыкновенные прямоугольные равномасштабные декартовы координаты, а под $t$ — время, измеренное в данной системе отсчета, $c$ — скорость света.

Посредством этого тензора определяется интервал

$ds={\sqrt {g_{ij}dx^{i}dx^{j}}}={\sqrt {c^{2}(dt)^{2}-(dx)^{2}-(dy)^{2}-(dz)^{2}}}$

— инвариантный относительно преобразований Лоренца аналог и обобщение 3-мерного расстояния в физическом пространстве на 4-мерное пространство время. (В последней формуле двойка означает не индекс, а степень).

Для кривой, все точки которой относятся к одному и тому же моменту времени, формула длины кривой сводится к обычной трехмерной форме. Для времениподобной кривой, формула длины дает собственное время вдоль кривой.

Метрика Минковского является псевдометрикой (как мы видим, она не положительно определенная). При этом она постоянна (представлена постоянной матрицей в обычных декартовых координатах) и описывает, таким образом, плоское (без кривизны) псевдоевклидово пространство.

Все соотношения физики (законы физики) — по крайней мере если оставить в стороне гравитацию — насколько сейчас известно, записываются одинаково во всех инерциальных системах отсчета (4-мерных координатах), при этом описанная только что метрика Лоренца инвариантна для всех этих систем отсчета, если использовать естественные физические процедуры измерения. Пересчет физических величин (в том числе расстояний и углов, но не только) между разными системами отсчета осуществляется преобразованиями Лоренца, сохраняющими инвариантность этой метрики.

• Для метрики Минковского (лоренцевой метрики), описанной здесь, очень часто применяется специальное обозначение (буква): $\eta _{ij}\$.

• Замечание: иногда метрика Минковского берется с противоположным знаком, то есть (-1,+1,+1,+1). Более того, исторически такая сигнатура появилась первой — у Минковского, который ввел ее посредством умножения x⁰ на мнимую единицу, то есть x⁰ = ict (тогда метрика формально имела обычный евклидовский вид, то есть скалярное произведение вычислялось просто суммированием произведений компонент, но реально была с точностью до знака той же, что и описана в начале этого параграфа).