Участник:Wera/Песочница

A pizza of radius $z\,\!$ and thickness $a\,\!$ has a volume of $\pi zza\,\!$

$\int _{a}^{b}f(x)dx={\bigg |}_{a}^{b}{F(x)}$

1. Теорема Больцано-Вейерштрасса и критерий Коши для числовой последовательности

Больцано-Вейерштрасс Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Коши $\forall \varepsilon \geq 0\ \exists N(\varepsilon )\ :\ \forall m>N(\varepsilon ),n>N(\varepsilon )\rightarrow |x_{m}-x_{n}|<\varepsilon \,\!$

Необходимость: прибавить-вычесть внутри скобки Достаточность: выделяем сход. подпосл., для нее выполняется определение, берем $|x_{n_{k}}-x_{n}|<\varepsilon /2$, прибавим-вычтем предел, сложим два эпсилон-пополама

2. Два определения предела функции одной переменной и их эквивалентность.

$\lim _{x\rightarrow a}{f(x)}=b$

Гейне

$\forall \{x_{n}\}\rightarrow a\ \rightarrow \ \{f(x_{n})\}\rightarrow b\,\!$

Коши

$\forall \varepsilon \geq 0\ \exists \delta (\varepsilon )\ :\ |x-a|<\delta \ \rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon \,\!$

3. Свойства функций одного переменного, непрерывных на отрезке: ограниченность, достижимость точных граней. Теорема о промежуточных значениях.

Теорема 1: непрерывная на (a,b) f(x) ограничена на (a,b).

Д-во: пусть неограничена... Но для непрерывной $\exists \lim _{x\to b}f(x)=a\neq \infty$

Теорема 2: непрерывная на (a,b) f(x) достигает точных верхней и нижней граней.

Д-во: надо взять {x_n}: f(x_n) сходится к М (м), тогда по непрерывности существует x: f(x) = M (m)

Теорема 3: непрерывная на (a,b) f(x) пробегает все промежуточные значения

Д-во: Лемма о нуле для функции, имеющей на концах разные знаки, затем ее применение

4. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций: Ролля, Лагранжа и Коши.

Ролля: равные значения на концах => существует точка х, где f`(x) = 0

Лагранжа: существует x: f(b) - f(a) = f`(x)*(b - a)

Коши: Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \exists х: { f(b) - f(a) \over g(b) - g(a) } = { f`(x) \over g`(x) } === 5. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.=== === 6. Теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на компакте.=== === 7. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости.=== === 8. Исследование функции одного переменного с помощью производных: возрастание (убывание), экстремумы.=== === 9. Теорема о неявных функциях, заданных одним уравнением.=== === 10. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые условия, достаточные условия.=== === 11. Условный экстремум функций нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа (необходимые условия экстремума).=== === 12. Определённый интеграл. Свойства интеграла с переменным верхним пределом: непрерывность, дифференцируемость. Формула Ньютона-Лейбница.=== === 13. Несобственные интегралы. Сходящиеся и абсолютно сходящиеся интегралы. Критерий Коши. Признак сравнения.=== === 14. Числовые ряды. Сходимость и абсолютная сходимость. Критерий Коши.=== === 15. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.=== === 16. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов (непрерывность, интегрируемость, дифференцируемость).=== === 17. Степенные ряды. Теоремы Абеля. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора.=== === 18. Криволинейные интегралы. Формула Грина.=== === 19. Поверхностные интегралы. Формула Остроградского--Гаусса.=== === 20. Формула Стокса.=== === 21. Тригонометрический ряд Фурье. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке.=== === 22. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье.=== === 23. Ряд Фурье по ортогональной системе.=== Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, сходимость ряда Фурье по норме <img xmlns:extensions="xalan://ru.arptek.common.StringUtils" align="middle" alt="L_2" hspace="0" src="http://math.arptek.ru/eq.html?eq=L_2" vspace="0"> (то есть в смысле среднего квадратичного). === 24. Преобразование Фурье. Формула обращения. Непрерывность преобразования Фурье.==== === 25. Преобразование Фурье производной и производная преобразования Фурье.=== === 26. Различные способы задания прямой и плоскости. Углы между прямыми и плоскостями. Формулы расстояния от точки до прямой и плоскости.=== === 27. Кривые второго порядка. Эллипс, парабола, гипербола и их свойства.=== === 28. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера--Капелли. Общее решение системы алгебраических уравнений.=== === 29. Линейное отображение в конечномерных пространствах, его матрица. Собственные векторы и собственные значения линейных преобразований, их свойства.=== === 30. Евклидово пространство. Самосопряжённые преобразования, свойства их собственных векторов и собственных значений.=== === 31. Ортогональные преобразования в евклидовом пространстве.=== === 32. Билинейные формы. Квадратичные формы, и их приведение к каноническому виду.=== === 33. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.=== === 34. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и системы таких уравнений. Методы их решения, использование матричных формул.=== === 35. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Фундаментальная система решений. Метод вариации постоянных. Определитель Вронского, формула Лиувилля--Остроградского.=== === 36. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.=== === 37. Задача вариационного исчисления со свободными концами. Необходимые условия экстремума.=== === 38. Изопериметрическая задача вариационного исчисления. Необходимые условия экстремума.=== === 39. Вероятностное пространство. Независимые события. Теорема сложения. Условная вероятность. Полная система событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.=== === 40. Случайная величина и её функция распределения.=== === 41. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, их свойства.=== === 42. Испытания Бернулли. Неравенство Чебышева и закон больших чисел. Теорема Муавра-Лапласа и предельная теорема Пуассона.=== == Задачи (джентльменский набор формул) == ==== Таблица производных и интегралов ==== C - произвольная константа <table border="1" cellspacing="0" cellpadding="6"> <tr><th>f(x)</th><th>g(x) = f'(x)</th><th>s(x) = Sf(x)dx</th></tr> <tr> <td> <math> x^n \,\! }

$nx^{n-1}\,\!$

${x^{n+1} \over n+1}+C\,\!$

$a^{x}\,\!$

$(\ln {a})a^{x}\,\!$

${a^{x} \over \ln a}+C\,\!$

$\log _{a}x\,\!$

$1 \over x\ln a\,\!$

${x(\ln x-1) \over \ln a}+C\,\!$

$\sin x\,\!$

$\cos x\,\!$

$-\cos x+C\,\!$

$\cos x\,\!$

$-\sin x\,\!$

$\sin x+c\,\!$

$tgx\,\!$

$1 \over \cos ^{2}x\,\!$

$-\ln \cos x+C\,\!$

$ctgx\,\!$

$-{1 \over \sin ^{2}x}\,\!$

$\ln \sin x+C\,\!$

$shx\,\!$

$chx\,\!$

$chx\,\!$

$chx\,\!$

$shx\,\!$

$shx\,\!$

$thx\,\!$

$1 \over ch^{2}x\,\!$

$\ln chx+C\,\!$

$cthx\,\!$

$-{1 \over sh^{2}x}\,\!$

$\,\!$

$\arcsin x\,\!$

$1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}\,\!$

$x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}\,\!$

$\arccos x\,\!$

$-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}\,\!$

$-x\arccos x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C\,\!$

$arctgx\,\!$

$1 \over {1+x^{2}}\,\!$

$\,\!$

$arcctgx\,\!$

$-{1 \over 1+x^{2}}\,\!$

$x\operatorname {arcctg} x-\ln {1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}+c\,\!$

$e^{-x^{2}}\,\!$

$-2xe^{-x^{2}}\,\!$

Интеграл Пуассона

$\sin x^{2},\,\!$

$2x\cos x^{2}\,\!$

Синус Френеля

$\cos x^{2}\,\!$

$-2x\sin x^{2}\,\!$

Косинус Френеля

$1 \over \ln x\,\!$

$\,\!$

Интегральный логарифм

$\sin x \over x\,\!$

$\,\!$

Интегральный синус

$\cos x \over x\,\!$

$\,\!$

Интегральный косинус

Фред#########################################

$\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}$

${1 \over {a{(1+x^{2})}}}\,\!$

$\,\!$

$1 \over {\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}\,\!$

$\,\!$

$\ln |x+{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}|+C;a\neq 0\,\!$

${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,\!$

$\,\!$

${x \over 2}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+{a^{2} \over 2}arcsin{x \over a}+C;a>0\,\!$

${\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}\,\!$

$\,\!$

${x \over 2}{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}\pm {a^{2} \over 2}\ln |x+{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}|+C;a\neq 0\,\!$

Правила дифференцирования

$f_{1}(x)+f_{2}(x)\,\!$	$f'_{1}(x)+f'_{2}(x)\,\!$
$f(x)g(x)\,\!$	$f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\,\!$
$(f(x)g(x))^{(n)}\,\!$	$\sum _{0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}}\,\!$
$f(x) \over g(x)\,\!$	$f'(x)g(x)-g'(x)f(x) \over g^{2}(x)\,\!$
$f(g(x))\,\!$	$g'(x)f'(g(x))\,\!$
$f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}\,\!$	$\left(g'(x)\ln f(x)+{f'(x)g(x) \over f(x)}\right)f(x)^{g(x)}\,\!$
$y(x):y(t);x(t)\,\!$	$y'(t) \over x'(t)\,\!$
$y(x):y(t);x(t)\,\!$ вторая производная	$y''(t)x'(t)-x''(t)y'(t) \over (x'(t))^{2}\,\!$
$F(x,y(x))=0\,\!$ в точке $(x_{0},y_{0})\,\!$	$F'(x,y'(x))\,\!$ затем подставляем в результат точку и решаем уравнение относительно y'
производная по направлению	градиент

Методы интегрирования

1. Метод Остроградского: "разаливаем" дробь на дроби попроще

2. Подстановка tg(x/2) для некоторых тригонометрических

3. Интегралы вида $\int {dx \over a\sin x+b\cos x}\,\!$: выести в знаменателе за скобку корень из суммы квадратов коэффициентов, свернуть сумму в синус суммы, ввести замену типа как в номере 2

3. Интегрирование по частям: "запихнуть" часть под дифференциал: $\int udv=uv-\int vdu\,\!$

Пределы

Первый замечательный

$\lim _{x\rightarrow 0}{\sin x \over x}=1\,\!$

Второй замечательный

$\lim _{x\rightarrow 0}\left(x+{1 \over x}\right)^{1 \over x}=e\,\!$

Формула Тейлора бесконечно дифф. функции f(x) в окрестности точки a. Окрестность определяется радиусом сходимости ряда.

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(a)(x-a)^{n} \over n!}\,\!$

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}\,\!$

$shx=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{2n+1} \over (2n+1)!}\,\!$

$chx=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{2n} \over (2n)!}\,\!$

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}{x^{2n+1} \over (2n+1)!}}\,\!$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}{x^{2n} \over (2n)!}}\,\!$

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over (n)!}\alpha (\alpha -1)...(\alpha -n+1)\,\!$

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1}{x^{n} \over n}}\,\!$

Свойства функций

Непрерывность

Равномерная непрерывность

Экстремумы

На множестве дважды дифференцируемости: ${\begin{matrix}f'(x)=0\\f''(x)>0\ \rightarrow \ min\\f''(x)<0\ \rightarrow \ max\end{matrix}}\,\!$

В остальных случаях смотрим области определения, возрастания, убывания

Перегибы

${\begin{matrix}f''(x)=0\\f'''(x)!=0\end{matrix}}$

Асимптоты

Определение

$\lim _{x\rightarrow \infty }(f(x)-kx-b)=0\,\!$

Вычисление

$\lim _{x\rightarrow \infty }{f(x) \over x}=k\,\!$

$\lim _{x\rightarrow \infty }(f(x)-kx)=b\,\!$

Сходимости

Последовательности

1. Теорема Больцано-Вейерштрасса

2. Неубывающая (невозрастающая), ограниченная сверху (снизу) последовательность сходится

3. Критерий Коши

4. Теорема о двух милиционерах и посленовогоднем прохожем.

5. Сумма, произведение сходящихся последовательностей

Ряды

1. Интегральный: если интеграл от функции сходился, то и ряд от последовательности ее значений сходится

2. Д'Аламбера:

${a_{n+1} \over a_{n}}\leq q;q\in (0,1)\,\!$

3. Коши

${\sqrt[{n}]{a_{n}}}\leq q;q\in (0,1)\,\!$

4. Лейбница

Если модули элементов знакочередующегося ряда монотонно стремятся к нулю, то сходится

Пусть теперь ряд представим в виде:

$\sum a_{n}b_{n}\,\!$

5. Дирихле

Последовательность частичных сумм ряда

$\sum a_{n}\,\!$ ограничена

$b_{n}\,\!$ монотонно стремится к нулю

6. Абеля

$\sum a_{n}\,\!$ сходится

$b_{n}\,\!$ монотонна и ограничена

Функции многих переменных

Градиент

l - направление

${\begin{matrix}l=(\cos \alpha ;\cos \beta ;\cos \gamma );\quad \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1\\gradf(x)=\left({df \over dx};{df \over dy};{df \over dz}\right)\\{df \over dl}=(gradf,l)\end{matrix}}\,\!$

Анал

Прямая

на плоскости

Ax + By + C = 0

Прямая проходит через точку r₀ с направляющим вектором a=(m;n)

${\begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}\\m&n\end{vmatrix}}=0$

в пространстве

Прямая проходит через точку r₀ перпендикулярно вектору n

$(r-r_{0},{\vec {n}})=0\,\!$

Прямая проходит через точку r₀ параллельно вектору p (с направляющим вектором p)

$r=r_{0}+{\vec {p}}t\,\!$

Прямая задана пересечением двух плоскостей:

$\left\{{\begin{matrix}A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0\\A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0\end{matrix}}\right.$

Начальная точка - частное решение системы уравнений.

Направлющий вектор (знак второй члена!):

$m={\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}},\quad n={\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}},\quad k={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}\quad$

Каноническое уравнение:

${x-x_{0} \over m}={y-y_{0} \over n}={z-z_{0} \over k}\,\!$

Параметрическое уравнение:

$\left\{{\begin{matrix}x=x_{0}+tm\\y=y_{0}+tn\\z=z_{0}+tk\end{matrix}}\right.\,\!$

Плоскость

Плоскость проходит через точку r₀ перпендикулярно вектору n

$(r-r_{0},{\vec {n}})=0\,\!$

Ax + By + C = 0

$r=r_{0}+t_{1}{\vec {p}}+t_{2}{\vec {q}}\,\!$

${\begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\\m_{1}&n_{1}&k_{1}\\m_{2}&n_{2}&k_{2}\end{vmatrix}}=0$

Векторное произведение

$[a,b]={\begin{vmatrix}e_{1}&e_{2}&e_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}$

Расстояния

Между точками:

'Модуль вектора разности координат'

От точки r₁ до прямой:

$|[{\vec {p}},r_{1}-r_{0}]| \over |{\vec {p}}|\,\!$

От точки до плоскости:

Между прямыми:

$|(r_{01}-r_{02},p_{1},p_{2})| \over |[{\vec {p}}_{1},{\vec {p}}_{2}]|\,\!$

Между плоскостями:

$|{\vec {r_{01}-r_{02}}}|*cos({\vec {r_{01}-r_{02}}},{\vec {(}}{A_{1},B_{1},C_{1}}))\,\!$

Между прямой и плоскостью:

Углы

Между прямыми:

$\cos \phi ={({\vec {n_{1}}},{\vec {n_{2}}}) \over |{\vec {n_{1}}}|*|{\vec {n_{2}}}|}\,\!$

Между прямой и плоскостью:

$n_{2}=(A,B,C)\,\!$

Между плоскостями:

Кривые второго порядка на плоскости

Эллипс

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,\!$

Фокус расположен в точке c.

Эксцентриситет: $\varepsilon ={c \over a}\,\!$

Директрисы: $x=\pm {a \over \varepsilon }\,\!$

Гипербола

${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,\!$

Парабола

$y^{2}=2px\,\!$