Число Вудала

В теории чисел число Вудала (W_n) — любое натуральное число вида

W_n = n × 2ⁿ − 1

для некоторого натурального n. Несколько первых чисел Вудала:

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, … последовательность A003261 в OEIS.

Числа Вудала были впервые изучены Алланом Куннингамом и Х.Дж. Вудалом в 1917, воодушевленные более ранними исследованиями Джеймса Каллена подобным образом определенных чисел Каллена. Числа Вудала странным образом проявились в теореме Гудстейна.

Числа Вудала, являющиеся простыми числами, называются простыми числами Вудала. Несколько первых экспонент n, для которых соответствующие числа Вудала, W_n простые, это

2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, … последовательность A002234 в OEIS.

Сами же простые числа Вудала образуют последовательность:

7, 23, 383, 32212254719, … последовательность A050918 в OEIS.

В 1976 году Христофер Хулей показал, что почти все числа Каллена составные. Доказательство Кристофера Хулей было переработано математиком Хирми Суяма чтобы показать, что оно верно для любой последовательности чисел n • 2^n+a + b где a и b целые числа, и частично также для чисел Вудала. Предполагают, что существует бесконечно много простых числе Вудала. К декабрю 2007 года наибольшее известное число Вудала — 3752948 × 2^3752948 − 1. Оно имеет 1,129,757 цифр и было найдено Матью Томпсоном (Matthew J. Thompson) в 2007 в проекте распределенных вычислений PrimeGrid.

Подобно числам Каллена, числа Вудала имеют много свойств делимости. Например, если p простое число, то p делит

W_{(p + 1) / 2} если символ Якоби $\left({\frac {2}{p}}\right)$ равен +1 и

W_{(3p − 1) / 2} если символ Якоби $\left({\frac {2}{p}}\right)$ равен −1.

Обобщенное число Вудала определяется как число вида n × bⁿ − 1, где n + 2 > b. Если простое число можно записать в таком виде, его называют обобщенным простым числом Вудала.

См. также

• Простые числа Мерсенна — простые числа вида 2ⁿ − 1.

Литература

• Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.), New York: Springer Verlag, pp. section B20, ISBN 0-387-20860-7.
• Keller, Wilfrid (1995), "New Cullen Primes" (PDF), Mathematics of Computation, 64 (212): 1733—1741.
• Caldwell, Chris, "The Top Twenty: Woodall Primes", The Prime Pages, Дата обращения: 29 декабря 2007.

Ссылки

• Chris Caldwell, The Prime Glossary: Woodall number at The Prime Pages.
• Weisstein, Eric W. Woodall number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Steven Harvey, List of Generalized Woodall primes.
• Paul Leyland, Generalized Cullen and Woodall Numbers