Просмотр кода страницы Риманова геометрия

{{Не путать|Геометрия Римана|геометрией Римана}}

'''Ри́манова геоме́трия''' — раздел [[дифференциальная геометрия|дифференциальной геометрии]], главным объектом изучения которого являются [[Риманово многообразие|римановы многообразия]], то есть [[Многообразие#Гладкие многообразия|гладкие многообразия]] с дополнительной структурой, [[риманова метрика|римановой метрикой]], иначе говоря — с выбором [[евклидово пространство|евклидовой метрики]] на каждом [[Касательное пространство|касательном пространстве]], причём эта метрика гладко меняется от точки к точке. Иногда, особенно часто в математической физике, под римановой геометрией подразумевают также и псевдориманову геометрию многообразий с [[псевдориманова метрика|псевдоримановой метрикой]], например, геометрию [[пространство-время|пространства-времени]] [[специальная теория относительности|специальной]] и [[общая теория относительности|общей теории относительности]].

{{Якорь|Риманова геометрия в целом}}Основным подразделом римановой геометрии в математике является '''''геометрия в целом''''' — раздел, который выявляет связь глобальных свойств риманова многообразия, таких как: топология, диаметр, объём — и его локальных свойств, к примеру, ограничений на [[кривизна|кривизну]].

== История ==
[[File:Bernhard Riemann 3.jpg|thumb|Бернхард Риман]]
Родоначальником римановой геометрии является немецкий математик [[Риман, Бернхард|Бернхард Риман]], который изложил её основные понятия в [[1854 год]]у.

После опубликования работ Римана его идеи привлекли внимание ряда математиков, которые развивали дальше аналитический аппарат римановой геометрии и устанавливали в ней новые геометрические теоремы. Важным вкладом в развитие римановой геометрии было создание итальянскими геометрами [[Риччи-Курбастро, Грегорио|Риччи-Курбастро]] и его учеником [[Леви-Чивита, Туллио|Леви-Чивита]] на рубеже [[XX век]]а [[тензорное исчисление|тензорного исчисления]], которое оказалось наиболее подходящим аналитическим аппаратом. Решающее значение имело применение римановой геометрии в создании [[общая теория относительности|общей теории относительности]]. Это привело к бурному развитию римановой геометрии и её разнообразных обобщений. В настоящее время риманова геометрия вместе с её обобщениями представляет собой обширную область геометрии, которая продолжает успешно развиваться.

== Основные теоремы ==
[[Основная теорема римановой геометрии]] утверждает, что на любом римановом многообразии имеется единственная [[Аффинная связность|связность]] [[Кручение связности|без кручения]], сохраняющая [[метрический тензор]], так называемая [[связность Леви-Чивиты]] данной метрики.

[[Теорема Гаусса — Бонне]] утверждает, что интеграл от [[Гауссова кривизна|гауссовой кривизны]] на компактном 2-мерном римановом многообразии равен 2πχ(М), где χ(M) обозначает [[Эйлерова характеристика|эйлерову характеристику]] многообразия.
Эта теорема допускает также обобщение на компактное риманово многообразие четной размерности.

== Литература ==
* {{книга|автор=Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А.|заглавие=Введение в риманову геометрию|год=1994|серия=|ссылка=|место=Санкт-Петербург|издательство=Наука|тираж=|страниц=|isbn=5-02-024606-9}}
* ''Рашевский П. К.'' Риманова геометрия и тензорный анализ. — М.: Наука, 1967.
* ''Дубровин Б. А., Новиков С. П., [[Фоменко А. Т.]]'' Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
* ''Постников М. М.'' Риманова геометрия (Лекции по геометрии. семестр V) — М.: Факториал Пресс, 1998. 496 с.
* ''Громол Д., Клингенберг В., Мейер В.'' Риманова геометрия в целом. — М.: Мир, 1971

{{ВС}}

[[Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия| ]]
[[Категория:Структуры на многообразиях]]