Просмотр кода страницы Число Цайзеля

'''Число Цайзеля''' — [[свободное от квадратов число]] <math>k</math>, имеющее как минимум три [[Простой множитель|простых делителя]], для которых выполняется условие:

: <math>p_x = ap_{x - 1} + b</math>,

где <math>a</math> и <math>b</math> являются некоторыми [[Целое число|целыми]] константами, а <math>x</math> — индекс отсортированных в порядке возрастания этих простых делителей. При этом полагается <math>p_0 = 1</math>.

Несколько первых чисел Цайзеля<ref>{{OEIS|id=A051015}}</ref>:
: [[105 (число)|105]], 1419, [[1729 (число)|1729]], 1885, 4505, 5719, 15387, 24211, 25085, 27559, 31929, 54205, 59081, 114985, 207177, 208681, 233569, 287979, 294409, 336611, 353977, 448585, 507579, 982513, 1012121, 1073305, 1242709, 1485609, 2089257, 2263811, 2953711, …

Например, 1729 является числом Цайзеля с константами <math>a = 1</math> и <math>b = 6</math>, а его делители 7, 13 и 19 удовлетворяют равенствам:
: <math>
\begin{align}
p_1 = 7, & {}\quad p_1 = 1p_0 + 6 \\
p_2 = 13, & {}\quad p_2 = 1p_1 + 6 \\
p_3 = 19, & {}\quad p_3 = 1p_2 + 6
\end{align}</math>

[[1729 (число)|1729]] является примером [[Число Кармайкла|чисел Кармайкла]] вида <math>(6n + 1)(12n + 1)(18n + 1)</math>, которые удовлетворяют уравнению <math>p_x = ap_{x - 1} + b</math> с <math>a = 1</math> и <math>b = 6n</math>, так что любое число Кармайкла вида <math>(6n+1)(12n+1)(18n+1)</math> является числом Цайзеля.

Другие числа Кармайкла этого вида: 294409, 56052361, 118901521, 172947529, 216821881, 228842209, 1299963601, 2301745249, 9624742921, …

Название для чисел Цайзеля введено, по-видимому, Кевином Брауном, который искал числа, которые при подстановке в формулу <math>2^{k - 1} + k</math> дают [[простое число]]. В сообщении, направленном в [[Группа новостей|группу новостей]] sci.math 24 февраля 1994 Хельмут Цайзель указал, что 1885 является таким числом. Позднее<!-- Брауном?--> обнаружено, что 1885 имеет разложение на простые множители со свойством, соответствующим определению чисел Цайзеля.

[[1729 (число)|Число 1729]] — число Харди — Рамануджана — также является числом Цайзеля.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{MathWorld|urlname=ZeiselNumber|title=Zeisel Number}}
* [http://www.mathpages.com/home/kmath015.htm MathPages article]

{{rq|checktranslate|style}}

[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Целочисленные последовательности]]