Теорема Пеано

Теорема Пеано (иногда теорема Коши — Пеано) — теорема о существовании решения обыкновенного дифференциального уравнения, которая утверждает, что

Пусть функция $f(t,x)$ непрерывна по совокупности переменных в некоторой области $|t-t_{0}|\leqslant a,|x-x_{0}|\leqslant b$ и $\beta$ — максимум $|f(t,x)|$ в этой области. Если $h=\min(a,{\frac {b}{\beta }})$ , то на отрезке $[t_{0}-h,t_{0}+h]$ существует по крайней мере одно решение уравнения ${\frac {dx}{dt}}=f(t,x)$ , удовлетворяющее начальному условию $x(t_{0})=x_{0}$ .

Доказательство[править | править код]

Уравнение ${\frac {dx}{dt}}=f(t,x)$ с начальным условием $x(t_{0})=x_{0}$ эквивалентно интегральному уравнению $x(t)=x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau$ .

Рассмотрим оператор A, определенный равенством $A(x)\equiv x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau$ в пространстве $C[t_{0}-h,t_{0}+h]$ на шаре $S_{b}:||x-x_{0}||\leqslant b$ , который будет замкнутым выпуклым множеством в этом пространстве.

Оператор A вполне непрерывен на этом шаре. Если последовательность ${\mathcal {f}}x_{n}(t){\mathcal {g}}$ , принадлежащая шару $|x-x_{0}|\leqslant b$ , равномерно сходится к функции $x(t)\in S_{b}$ , то в силу непрерывности функции $f(t,x)$ имеем, что $f(t,x_{n}(t))\rightarrow f(t,x(t))$ равномерно на $[t_{0}-h,t_{0}+h]$ . При равномерной сходимости законен предельный переход под знаком интеграла, так что $Ax_{n}\rightarrow Ax$ , то есть оператор A непрерывен на шаре $S_{b}$ .

Для любого элемента $x(t)\in S_{b}$ выполняется неравенство $|Ax(t)|\leqslant |x_{0}|+|\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau \leqslant |x_{0}|+\beta |h|$ , то есть множество значений оператора $A$ ограничено.

Если $t_{1}$ и $t_{2}$ — любые точки отрезка $[t_{0}-h,t_{0}+h]$ , то для любой функции $x(t)\in S_{b}$ будем иметь $|Ax(t_{2})-Ax(t_{1})|\leqslant |\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}f(\tau ,x(\tau ))d\tau |\leqslant \beta |t_{2}-t_{1}|$ , то есть множество значений оператора $A$ равностепенно непрерывно.

В силу теоремы Арцела отсюда заключаем, что оператор $A$ преобразует шар $S_{b}:||x-x_{0}||\leqslant b$ в компактное множество.

Это доказывает полную непрерывность оператора $A$ .

Оператор $A$ преобразует шар $S_{b}:||x-x_{0}||\leqslant b$ в себя. Действительно, $|Ax(t)-x_{0})|\leqslant |\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau |\leqslant \beta h\leqslant \beta {\frac {b}{\beta }}=b$ .

Таким образом, оператор $A$ удовлетворяет всем условиям теоремы Шаудера. Существует неподвижная точка этого оператора, то есть такая функция ${\tilde {x}}(t)$ , что ${\tilde {x}}(t)\equiv x_{0}+\int \limits _{t_{0}}^{t}f(\tau ,{\tilde {x}}(\tau ))d\tau$ .