Уравнения Дена — Сомервиля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника.

Формулировка[править | править вики-текст]

Для данного простого -мерного многогранника обозначим через количество граней размерности ; в частности, . Рассмотрим формальную сумму

Тогда уравнения Дена — Сомервиля имеют вид

для каждого целого .

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Последовательность называется f-вектором многогранника.
  • Последовательность называется h-вектором многогранника.
    • Если — линейная функция общего положения, то есть все вершины многогранника лежат на разных уровнях , тогда равно числу вершин индекса ; то есть ровно рёбер из этой вершины идут вниз по . Уравнения Дена — Сомервиля получаются заменой на .
      • В дополнении получаем для любого , это даёт нетривиальные неравенства на -вектор.

История[править | править вики-текст]

В размерности 4 и 5 соотношения были описаны М.Деном[1]. В общем случае уравнения были описаны Сомервилем (англ.) в 1927.

Литература[править | править вики-текст]

  1. M. Dehn, 1905, " Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie ", Math. Ann., 61 (1905), 561—586