Поток минимальной стоимости

Задача о потоке минимальной стоимости состоит в нахождении самого дешёвого способа передачи определённого количества потока через транспортную сеть.

Определения

Дана транспортная сеть $G(V,E)$ с источником $s\in V$ и стоком $t\in V$, где рёбра $(u,v)\in E$ имеют пропускную способность $c(u,v)$, поток $f(u,v)$ и цену $a(u,v)$. Цена пересылки потока $f(u,v)\cdot a(u,v)$. Необходимо переслать $d$ единиц потока.

Суть задачи — найти поток f(u, v), минимизирующий его общую стоимость:

$\sum _{u,v\in V}a(u,v)\cdot f(u,v)$

Накладываются следующие условия:

Ограничение пропускной способности:	$\ f(u,v)\leq c(u,v)$. Поток не может превысить пропускную способность.
Антисимметричность:	$\ f(u,v)=-f(v,u)$. Поток из $\ u$ в $\ v$ должен быть противоположным потоку из $\ v$ в $\ u$.
Сохранение потока:	$\ \sum _{w\in V}f(u,w)=0$.
Необходимый поток:	$\sum _{w\in V}f(s,w)=d$

Отношение к другим задачам

Другой вариант этой задачи — найти максимальный поток имеющий минимальную цену среди максимальных.

Более общая проблема — циркуляция потока минимальной стоимости, которая может быть использована для решения данной задачи. Ставим нижнюю границу для всех рёбер равную нулю и проводим дополнительное ребро из стока $t$ в источник $s$ с пропускной способностью $c(t,s)=d$ и нижней границей $l(t,s)=d$.

Решения

• Задача о потоке минимальной стоимости может быть решена с помощью линейного программирования.
• Найти любой поток данной величины, после чего избавиться от всех циклов отрицательной стоимости в остаточном графе. Чтобы избавиться от цикла, надо пустить по нему максимально возможный поток. Циклы ищутся алгоритмом Беллмана - Форда.
• Использовать модификацию алгоритма Форда — Фалкерсона, в которой на каждом шаге выбирается увеличивающий путь минимальной цены. Для выбора пути можно воспользоваться алгоритмом Беллмана-Форда.
• Улучшение предыдущего алгоритма: используя потенциалы, можно свести задачу к задаче без отрицательных рёбер, после чего вместо алгоритма Беллмана-Форда воспользоваться алгоритмом Дейкстры. Алгоритм Беллмана-Форда придётся применить лишь на самом первом шаге.

Ссылки

• Визуализатор алгоритма нахождения максимального потока минимальной стоимости

См. также

• Задача о максимальном потоке

Литература

• Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / Под ред. И. В. Красикова. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2005. — 1296 с. — ISBN 5-8459-0857-4.