Регулярная матрица Адамара

Регулярная матрица Адамара — это матрица Адамара, у которой суммы по строкам и столбцам равны. В то время как порядок матрицы Адамара должен быть 1, 2 или кратен 4, регулярные матрицы Адамара удовлетворяют дальнейшим ограничениям, что порядок равен полному квадрату. Избыток, обозначаемый E(H), матрицы Адамара H порядка n определяется как сумма элементов матрицы H. Избыток удовлетворяет ограничению $|E(H)|\leqslant n^{\tfrac {3}{2}}$. Матрица Адамара достигает этой границы тогда и только тогда, когда она регулярна.

Параметры

Если $n=4u^{2}$ является порядком регулярной матрицы Адамара, то её избыток равен $\pm 8u^{3}$, а суммы строк и столбцов равны $\pm 2u$. Отсюда следует, что каждая строка имеет $2u^{2}\pm u$ положительных элементов и $2u^{2}\mp u$ отрицательных. Из ортогональности строк следует, что любые две различные строки имеют в точности $u^{2}\pm u$ общих положительных элемента. Если H интерпретировать как матрицу инцидентности блок-дизайна, когда 1 представляет смежность, а −1 представляет неинцидентность, то матрица H соответствует симметричному $2-(v,k,\lambda )$ дизайну с параметрами $(4u^{2},2u^{2}\pm u,u^{2}\pm u)$. Дизайн с этими параметрами называется дизайном Менона.

Построение

Нерешённые проблемы математики: Какие полные квадраты могут быть порядком регулярной матрицы Адамара?

Известно несколько методов построения регулярных матриц Адамара и было проведено несколько исчерпывающих компьютерных поисков для регулярных матриц Адамара с определёнными группами симметрии, но не известно, каждый ли полный чётный квадрат есть порядок регулярной матрицы Адамара. Матрицы Адамара типа Буша являются регулярными матрицами Адамара специального вида и связаны с конечными проективными плоскостями.

История и наименование

Подобно более общим матрицам Адамара, регулярные матрицы Адамара названы именем Жака Адамара. Дизайн Менона назван именем индийского математика П. Кишава Менона, а матрицы Адамара типа Буша названы именем Кеннета А. Буша.

Литература

• The CRC Handbook of Combinatorial Designs / Colbourn C.J., Dinitz J.H. (ed.). — 2nd ed.. — Florida.: CRC Press, Boca Raton, 2006.
• W. D. Wallis, Anne Penfold Street, Jennifer Seberry Wallis. Combinatorics: Room Squares, Sum-Free Sets, Hadamard Matrices. — Berlin: Springer-Verlag, 1972.