Чистяков начал свою карьеру хоккеиста в Нижнем Тагиле. Там он выступал до 2011 года. С 2011 по 2016 год играл за юниорскую команду «Трактор» из Челябинска. С 2016 по 2019 год выступал в системе уфимского «Салавата Юлаева» за юниорский «Салават Юлаев» и «Толпар». 9 декабря 2019 года был обменян в омский «Авангард» на защитника Павла Елизарова[1][2]. Оставшуюся часть сезона 2019/20 Семён провёл в «Омских Ястребах» из МХЛ и в 15 встречах набрал 11 очков.
Сезон 2020/21 начал в составе омского «Авангарда». Первую игру в КХЛ провёл 3 сентября 2020 года в матче против новосибирской «Сибири», отыграв всего 38 секунд. 11 сентября 2020 года набрав первый балл за результативность в КХЛ, отдав результативную передачу на Оливера Каски в матче против магнитогорского «Металлурга». 13 ноября 2020 года забил первый гол в КХЛ вратарю Харри Сятери из «Сибири».[5] Также в сезоне 2020/21 Чистяков стал обладателем Кубка Гагарина в составе «Авангарда».[6]