Теорема Вика для функционального интеграла

Теорема Вика для функционального интеграла — это обобщение теоремы Вика для многочлена от координат многомерного Гауссового вектора на случай континуального распределения Гаусса. Широко используется в аппарате функциональных интегралов.

Формулировка

Теорема.

Пусть случайное поле $\varphi (X)$ отвечает континуальному распределению Гаусса с нулевым матожиданием, т.е. $\langle \varphi (X)\rangle =0$. Тогда для средних значений произведений величин вида $\varphi _{i}=\varphi (X_{i})$ верно следующее:

$\langle \varphi _{1}\cdot \ldots \cdot \varphi _{N}\rangle =\sum \langle \varphi _{i_{1}}\varphi _{j_{1}}\rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi _{i_{N/2}}\varphi _{j_{N/2}}\rangle ,$

если $N$ чётное, и

$\langle \prod _{i\in I}\varphi _{i}\rangle =0,$

если $N$ нечётное.

Под $\langle \varphi _{i_{1}}\varphi _{j_{1}}\rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi _{i_{N/2}}\varphi _{j_{N/2}}\rangle$ подразумевается разбиение множества $\{1,\ldots ,N\}$ на $N/2$ пар $(i_{k},j_{k})$, суммирование же идёт по всем возможным различным разбиениям $\{1,\ldots ,N\}$ на такие пары.

Примеры

Для произведения 4 элементов: $\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\rangle =\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\rangle \cdot \langle \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\rangle +\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{3}\rangle \cdot \langle \varphi _{2}\cdot \varphi _{4}\rangle +\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{4}\rangle \cdot \langle \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\rangle$.

Для произведения 6 элементов:

$\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\cdot \varphi _{5}\cdot \varphi _{6}\rangle =\sum \langle \varphi _{i}\cdot \varphi _{j}\rangle \cdot \langle \varphi _{k}\cdot \varphi _{l}\rangle \cdot \langle \varphi _{m}\cdot \varphi _{n}\rangle$,

причём суммирование производится по всем возможным спариваниям $(i,j),(k,l),(m,n)$ выбранным из множества $\{1,2,3,4,5,6\}$, например, $(1,3),(2,5),(4,6)$ или $(1,5),(2,4),(3,6)$ (всего таких спариваний 15).

Аналогично для случаев 8 и более элементов

Использование

Известно, что если Гауссова плотность распределения описывается формулой

$\rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {\varphi K\varphi }{2}}\right\}$,

то

$\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\rangle =\langle \varphi (X_{1})\cdot \varphi (X_{2})\rangle =K^{-1}(X_{1},X_{2})$.

То есть любую корреляционную функцию $G(X_{1},\ldots ,X_{N})=\langle \varphi (X_{1}),\ldots ,\varphi (X_{N})\rangle$ можно по теореме Вика выразить через комбинации $K^{-1}$, т.е., например

$G(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})=K^{-1}(X_{1},X_{2})\cdot K^{-1}(X_{3},X_{4})+K^{-1}(X_{1},X_{3})\cdot K^{-1}(X_{2},X_{4})+K^{-1}(X_{1},X_{4})\cdot K^{-1}(X_{2},X_{3})$.

См. также

• Континуальное распределение Гаусса
• Производящий функционал
• Функциональный интеграл

Литература

• Васильев А.Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — Издательство Петербургского института ядерной физики (ПИЯФ), 1998. — ISBN 5-86763-122-2.