Краткое описание
The equilateral triangle as base element.
General case
Segments in the general case
0) The side length of the equilateral base triangle is:
a
0
{\displaystyle a_{0}}
Perimeters in the general case
0) Perimeter of equilateral base triangle:
P
0
=
3
⋅
a
0
{\displaystyle P_{0}=3\cdot a_{0}}
Areas in the general case
0) Area of the equilateral base triangle:
A
0
=
3
4
⋅
a
0
2
≈
0.433
⋅
a
0
2
{\displaystyle A_{0}={\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a_{0}^{2}\quad \approx 0.433\cdot a_{0}^{2}\quad }
, see calculation (2)
Centroids in the general case
By definition the centroid point of a base shape is
S
0
=
0
+
0
i
{\displaystyle S_{0}=0+0i}
The positon of point D relative to
S
0
{\displaystyle S_{0}}
is:
D
=
0
−
1
3
⋅
|
C
D
|
⋅
i
=
0
−
1
3
⋅
3
2
⋅
a
0
⋅
i
=
(
0
−
1
2
3
⋅
i
)
⋅
a
0
{\displaystyle D=0-{\frac {1}{3}}\cdot |CD|\cdot i=0-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot a_{0}\cdot i=\left(0-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\cdot i\right)\cdot a_{0}}
Normalised case
In the normalised case the area of the base shape is set to 1.
So
A
0
=
3
4
⋅
a
0
2
=
1
⇒
a
0
2
=
4
3
⇒
a
0
=
2
3
≈
1.52
{\displaystyle A_{0}={\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a_{0}^{2}=1\quad \Rightarrow a_{0}^{2}={\frac {4}{\sqrt {3}}}\quad \Rightarrow a_{0}={\frac {2}{\sqrt {\sqrt {3}}}}\quad \approx 1.52}
Segments in the normalised case
0) Side length of the triangle
a
0
=
2
3
≈
1.52
{\displaystyle a_{0}={\frac {2}{\sqrt {\sqrt {3}}}}\quad \approx 1.52}
Perimeter in the normalised case
0) Perimeter of base triangle:
P
0
=
3
⋅
2
3
=
12
3
≈
4.5590141
{\displaystyle P_{0}=3\cdot {\frac {2}{\sqrt {\sqrt {3}}}}={\sqrt {12{\sqrt {3}}}}\quad \approx 4.5590141}
Area in the normalised case
0) Area of the base triangle is by definition
A
0
=
3
4
⋅
(
2
3
)
2
=
1
{\displaystyle A_{0}={\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot \left({\frac {2}{\sqrt {\sqrt {3}}}}\right)^{2}=1}
Centroids in the normalised case
By definition the centroid point of a base shape is
S
0
=
0
+
0
i
{\displaystyle S_{0}=0+0i}
The positon of point D relative to
S
0
{\displaystyle S_{0}}
is:
D
=
(
0
−
1
2
3
⋅
i
)
⋅
2
3
=
0
−
1
3
3
⋅
i
≈
0
−
0.439
i
{\displaystyle D=\left(0-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\cdot i\right)\cdot {\frac {2}{\sqrt {\sqrt {3}}}}=0-{\sqrt {\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}}\cdot i\quad \approx 0-0.439i}
Calculations
Known elements
(0) Given is the side length of the equilateral triangle:
a
0
{\displaystyle a_{0}}
(1)
|
A
B
|
=
|
B
C
|
=
|
A
C
|
=
a
0
{\displaystyle \quad |AB|=|BC|=|AC|=a_{0}}
(2)
|
A
D
|
=
|
B
D
|
=
1
2
⋅
a
0
{\displaystyle \quad |AD|=|BD|={\frac {1}{2}}\cdot a_{0}}
Calculation 1
The height
|
C
D
|
{\displaystyle |CD|}
is calculated:
|
A
D
|
2
+
|
C
D
|
2
=
|
A
C
|
2
{\displaystyle \quad |AD|^{2}+|CD|^{2}=|AC|^{2}\quad }
,applying the Pythagorean theorem on the rectangular triangle
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
⇔
(
1
2
⋅
a
0
)
2
+
|
C
D
|
2
=
|
A
C
|
2
{\displaystyle \quad \Leftrightarrow \left({\frac {1}{2}}\cdot a_{0}\right)^{2}+|CD|^{2}=|AC|^{2}\quad }
, applying equation (2)
⇔
(
1
2
⋅
a
0
)
2
+
|
C
D
|
2
=
a
0
2
{\displaystyle \quad \Leftrightarrow \left({\frac {1}{2}}\cdot a_{0}\right)^{2}+|CD|^{2}=a_{0}^{2}\quad }
, applying equation (1)
⇔
|
C
D
|
2
=
a
0
2
−
1
4
⋅
a
0
2
{\displaystyle \quad \Leftrightarrow |CD|^{2}=a_{0}^{2}-{\frac {1}{4}}\cdot a_{0}^{2}\quad }
, rearranging
⇔
|
C
D
|
2
=
3
4
⋅
a
0
2
{\displaystyle \quad \Leftrightarrow |CD|^{2}={\frac {3}{4}}\cdot a_{0}^{2}\quad }
, rearranging
⇔
|
C
D
|
=
3
2
⋅
a
0
{\displaystyle \quad \Leftrightarrow |CD|={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot a_{0}\quad }
, rearranging
Calculation 2
A
0
=
|
A
D
|
⋅
|
C
D
|
{\displaystyle \quad A_{0}=|AD|\cdot |CD|}
⇔
A
0
=
1
2
⋅
a
0
⋅
|
C
D
|
{\displaystyle \quad \Leftrightarrow A_{0}={\frac {1}{2}}\cdot a_{0}\cdot |CD|\quad }
, applying equation (2)
⇔
A
0
=
1
2
⋅
a
0
⋅
3
2
⋅
a
0
{\displaystyle \quad \Leftrightarrow A_{0}={\frac {1}{2}}\cdot a_{0}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot a_{0}\quad }
, applying result of calculation (2)
⇔
A
0
=
3
4
⋅
a
0
2
≈
0.433
⋅
a
0
2
{\displaystyle \quad \Leftrightarrow A_{0}={\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a_{0}^{2}\quad \approx 0.433\cdot a_{0}^{2}\quad }
Лицензирование
Я, владелец авторских прав на это произведение, добровольно публикую его на условиях следующей лицензии:
Вы можете свободно:
делиться произведением – копировать, распространять и передавать данное произведение
создавать производные – переделывать данное произведение
При соблюдении следующих условий:
атрибуция – Вы должны указать авторство, предоставить ссылку на лицензию и указать, внёс ли автор какие-либо изменения. Это можно сделать любым разумным способом, но не создавая впечатление, что лицензиат поддерживает вас или использование вами данного произведения.
распространение на тех же условиях – Если вы изменяете, преобразуете или создаёте иное произведение на основе данного, то обязаны использовать лицензию исходного произведения или лицензию, совместимую с исходной . https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0 CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 true true русский Добавьте однострочное описание того, что собой представляет этот файл
английский Equilateral triangle
немецкий Gleichseitiges Dreieck