Просмотр кода страницы Конечная группа

[[Файл:Snowflake7.png|thumb|<center>Симметрия снежинки связана с группой поворотов на угол, кратный 60°</center>]]

'''Конечная группа''' в [[Общая алгебра|общей алгебре]] — [[Группа (алгебра)|группа]], содержащая конечное число элементов (это число называется её «[[Порядок группы|порядком]]»){{sfn |Математическая энциклопедия|1982|loc=Том 2. Конечная группа}}. Далее группа предполагается ''мультипликативной'', то есть операция в ней обозначается как умножение; ''аддитивные группы'' с операцией сложения оговариваются особо. Единицу мультипликативной группы будем обозначать символом 1. Порядок группы <math>G</math> принято обозначать <math>|G|.</math>

Конечные группы широко используются как в математике, так и в других науках: [[криптография]], [[кристаллография]], [[атомная физика]], теория [[орнамент]]ов и др. Конечные [[Действие группы|группы преобразований]] тесно связаны с [[симметрия|симметрией]] исследуемых объектов.

== Примеры ==
* Аддитивная группа <math>\mathbb{Z}_n=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> [[класс вычетов|классов вычетов]] по модулю <math>n</math> .
* Мультипликативная группа [[корни из единицы|корней <math>n</math>-й степени из единицы]], [[Изоморфизм групп|изоморфная]] предыдущей группе.
* [[Приведённая система вычетов]] по модулю <math>m</math> : <math>\mathbb{Z}_m^{\times}=U(\mathbb{Z}_m),</math> порядок которой равен <math>\varphi(m)</math> ([[функция Эйлера]]).
* [[Коммутативная операция|Некоммутативная]] группа из 8 [[кватернион]]ных единиц: <math>Q_8=\left \{ \pm 1,\pm i,\pm j,\pm k \right \};</math> см. [[Группа кватернионов]].
* [[Симметрическая группа]] (группа подстановок или перестановок <math>n</math> элементов) <math>S_n</math> . Её порядок равен <math>n!</math> и при <math>n>2</math> она некоммутативна.
* [[Четверная группа Клейна]] <math>\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2=D_{2}</math> .
* [[Группа Галуа]] [[Конечное расширение|конечного расширения]] [[Поле (алгебра)|поля]], причём порядок группы равен [[степень расширения|степени расширения]]. Например, для расширения [[Вещественное число|поля вещественных чисел]] до [[Комплексное число|поля всех комплексных чисел]] группа Галуа содержит 2 элемента: единицу ([[тождественное отображение]]) и [[Сопряжённые числа|комплексное сопряжение]].

== Свойства и связанные определения ==
Теорема Кэли: [[Таблица Кэли|таблица умножения]] элементов конечной группы образует [[латинский квадрат]]<ref>{{статья |автор=Малых А. Е. |заглавие=О проблеме Киркмана и её развитии во второй половине XIX — начале XX столетий |издание=Проблемы историко-научных исследований  в математике и математическом образовании |тип=Материалы международной научной конференции, Пермь, сентябрь 2007 г. |место=Пермь |издательство=Пермский Гос. Пед. Университет|год=2007|страницы=84.}}</ref>.

[[Порядок элемента]] ''g'' конечной группы ''G'' определяется как минимальное натуральное число ''m'' такое, что <math>g^m=1</math>. Порядок определён для каждого элемента конечной группы.

[[Теорема Лагранжа (теория групп)|Теорема Лагранжа]]: порядок любой подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.
* Следствие 1: порядок любого элемента конечной группы — делитель порядка группы.
* Следствие 2: любой элемент ''g'' конечной группы порядка ''n'' удовлетворяет соотношению: <math>g^n = 1.</math> В теории чисел для [[Мультипликативная группа кольца вычетов|приведённой системы вычетов]] эта формула даёт важную [[Теорема Эйлера (теория чисел)|теорему Эйлера]].
* Следствие 3: элемент ''g'' конечной группы удовлетворяет соотношению: <math>g^m = 1</math> тогда и только тогда, когда число <math>m</math> кратно порядку <math>g.</math>
* Следствие 4: пусть порядок элемента ''g'' конечной группы равен <math>m.</math> Две степени этого элемента равны: <math>g^i=g^k</math> тогда и только тогда, когда показатели степеней сравнимы по модулю <math>m:</math>
:: <math>i \equiv k \pmod m</math>

Частное от деления порядка конечной группы <math>G</math> на порядок её подгруппы <math>H</math> называется '''индексом''' этой подгруппы и обозначается <math>G : H</math>. Например, в вышеприведенной группе кватернионных единиц (порядка 8) есть подгруппа <math>\{1; -1\}</math> порядка 2 и индекса 4, а также подгруппа <math>\{1; -1; i; -i\}</math> порядка 4 и индекса 2.

[[Теорема Коши (теория групп)|Теорема Коши]] (1815 год): любая группа, порядок которой делится на [[простое число]] <math>p</math>, имеет элемент порядка <math>p</math>.

Если всякому делителю <math>k</math> порядка группы соответствует подгруппа порядка <math>k</math>, то группа называется '''лагранжевой'''. Не всякая группа лагранжева — например, порядок группы вращений [[додекаэдр]]а равен 60, но подгрупп порядка 15 у неё нет<ref>{{книга|автор=Стюарт, Ян. |заглавие=Концепции современной математики |место=Минск |издательство=Вышейшая школа |год=1980 |страниц=384 |страницы=133—134 }}</ref>. Достаточные условия существования подгруппы заданного порядка (при некоторых дополнительных предположениях) устанавливают [[теоремы Силова]]. Примером лагранжевой группы является симметрическая группа <math>S_4</math>.

== Смежные классы и факторгруппа ==
  {{main|Факторгруппа}}
Пусть ''H'' — подгруппа порядка ''m'' в конечной группе ''G'' порядка ''n''. Будем считать элементы <math>g, g' \in G</math> эквивалентными по подгруппе ''H'', если существует <math>h \in H</math> такое, что <math>g=g'h.</math> Легко проверить, что это [[отношение эквивалентности]] в группе ''G''. Оно разбивает группу на непересекающиеся классы эквивалентности, называемыми (левыми) '''смежными классами''', все они содержат по ''m'' элементов, число классов равно индексу подгруппы. Каждый элемент <math>g \in G</math> входит в смежный класс <math>\bar{g} = g H</math>, образованный всевозможными произведениями ''g'' на элементы подгруппы ''H''.

Если подгруппа ''H'' является [[Нормальная подгруппа|нормальным делителем]], то можно перенести групповую операцию на множество смежных классов, определив:
: <math>(g_1 H) (g_2 H) = (g_1 g_2) H</math>
Результат такой операции не зависит от выбора представителей <math>g_1 g_2</math> и превращает множество смежных классов в группу, называемую '''факторгруппой'''. Она обозначается <math>G / H</math>. Порядок факторгруппы равен индексу соответствующей подгруппы.

== Классификация ==

=== Число различных групп данного порядка ===
{{also|oeis:A000001|oeis:A000688|oeis:A060689}}

{| class="wikitable"
|-----
! порядок
! число групп<ref>{{книга |заглавие=A Course in Group Theory |ссылка=https://archive.org/details/coursegrouptheor00hump_354 |издательство=[[Издательство Оксфордского университета|Oxford University Press]] |год=1996 |isbn=0198534590 |страницы=[https://archive.org/details/coursegrouptheor00hump_354/page/n247 238]—242 |zbl=0843.20001 |язык=en |автор=Humphreys, John F. }}</ref>
! коммутативных
! некоммутативных
|-----
! 0
| 0
| 0
| 0
|-----
! 1
| 1
| 1
| 0
|-----
! 2
| 1
| 1
| 0
|-----
! 3
| 1
| 1
| 0
|-----
! 4
| 2
| 2
| 0
|-----
! 5
| 1
| 1
| 0
|-----
! 6
| 2
| 1
| 1
|-----
! 7
| 1
| 1
| 0
|-----
! 8
| 5
| 3
| 2
|-----
! 9
| 2
| 2
| 0
|-----
! 10
| 2
| 1
| 1
|-----
! 11
| 1
| 1
| 0
|-----
! 12
| 5
| 2
| 3
|-----
! 13
| 1
| 1
| 0
|-----
! 14
| 2
| 1
| 1
|-----
! 15
| 1
| 1
| 0
|-----
! 16
| 14
| 5
| 9
|-----
! 17
| 1
| 1
| 0
|-----
! 18
| 5
| 2
| 3
|-----
! 19
| 1
| 1
| 0
|-----
! 20
| 5
| 2
| 3
|-----
! 21
| 2
| 1
| 1
|-----
! 22
| 2
| 1
| 1
|-----
! 23
| 1
| 1
| 0
|-----
! 24
| 15
| 3
| 12
|-----
! 25
| 2
| 2
| 0
|-----
! 26
| 2
| 1
| 1
|-----
! 27
| 5
| 3
| 2
|-----
! 28
| 4
| 2
| 2
|-----
! 29
| 1
| 1
| 0
|-----
! 30
| 4
| 1
| 3
|}

=== Конечные циклические группы ===
Наиболее простую структуру имеют конечные [[Циклическая группа|циклические группы]], все элементы которых можно представить как последовательные степени некоторого фиксированного элемента <math>a:</math>
: <math>1, a, a^2, a^3 \dots a^{n-1}\ </math> (''n'' — порядок группы).
Элемент ''a'' называется ''образующим'' (или ''первообразным'') для данной группы, а сама группа, порождённая <math>a,</math> обозначается <math>\langle a \rangle.</math>

В качестве образующего элемента для группы <math>\langle a \rangle</math> могут выступать не только элемент <math>a,</math> но и те его степени <math>a^k,</math> показатель <math>k</math> которых [[Взаимно простые числа|взаимно прост]] с порядком группы. Количество таких образующих элементов для группы порядка ''n'' равно <math>\varphi(n)</math> ([[функция Эйлера]]). Пример: группа [[Корни из единицы|комплексных корней из единицы по умножению]].

Любая конечная циклическая группа порядка <math>n</math> изоморфна аддитивной группе [[Сравнение по модулю|классов вычетов]] <math>\mathbb{Z}_n</math>.
Этот класс изоморфных групп обычно обозначается <math>C_n</math>.
Отсюда вытекает, что, 
*с точностью до [[изоморфизм]]а, существует только одна конечная циклическая группа данного порядка.
*циклические группы всегда [[Коммутативная операция|коммутативны]] ([[Абелева группа|абелевы]]) и лагранжевы.
*циклическая группа имеет нетривиальные подгруппы тогда и только тогда, когда её порядок является [[Составное число|составным числом]].
*любая подгруппа циклической группы тоже циклична. Циклической будет и всякая факторгруппа циклической группы ''G/H''. Количество различных подгрупп у циклической группы порядка <math>n</math> равно количеству (положительных) делителей числа <math>n.</math>

Степени любого элемента <math>a</math> произвольной конечной группы <math>G</math> образуют циклическую подгруппу <math>H</math>, порождённую <math>a</math> (для единицы это будет ''тривиальная подгруппа'', состоящую только из самой единицы). Эта подгруппа содержится в любой другой подгруппе <math>G,</math> содержащей элемент <math>a.</math> Порядок <math>H</math> равен порядку порождающего элемента <math>a.</math> Следствие: группа порядка <math>n</math> является циклической тогда и только тогда, когда в ней существует элемент того же порядка <math>n.</math>

Все группы, у которых порядок меньше 4 — циклические, поэтому для них не существует двух неизоморфных групп одного и того же порядка. Группа порядка 1 (''тривиальная группа'') содержит только единицу. Группа порядка 2 состоит из элементов <math>\{1, a\}</math> (причём <math>a^2=1</math>); в планиметрии такова, например, группа преобразований из единицы (тождественного преобразования) и зеркального отражения относительно фиксированной прямой. Группа порядка 3 содержит элементы <math>\{1, a, a^2\}.</math>

Не всякая коммутативная конечная группа является циклической. Простейший контрпример: [[четверная группа Клейна]].

=== Группы с простым порядком (p-группы) ===
{{main|Конечная p-группа}}
Пусть порядок группы — [[простое число]] ''p'', тогда имеют место следующие свойства.
* Группа является [[Циклическая группа|циклической]].
* Группа [[Коммутативная операция|коммутативна]] ([[Абелева группа|абелева]]) и [[Нильпотентная группа|нильпотентна]].
* Все группы одного и того же порядка ''p'' изоморфны друг другу.
Более общим и более сложным является случай, когда порядок группы — степень простого числа; такие группы принято называть [[Конечная p-группа|p-группами]].

=== Простые группы ===
Конечная группа называется простой, если все её [[Нормальная подгруппа|нормальные подгруппы]] тривиальны (то есть совпадают либо с единичной подгруппой, либо со всей группой){{sfn |Математическая энциклопедия|1982|loc=Том 4.Простая группа}}. См. их [[Классификация простых конечных групп|общую классификацию]].

=== Коммутативные (абелевы) группы ===
Основная теорема ([[Фробениус, Фердинанд Георг|Фробениус]]): всякая коммутативная конечная группа может быть представлена как [[прямая сумма]] [[Конечная p-группа|p-групп]]. Это следствие общей [[Конечнопорождённая абелева группа|теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп]] для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка.

== История ==
Первые исследования конечных групп появились задолго до появления этого термина, и касались они конкретных представителей данной структуры. Впервые такая потребность возникла при исследовании [[Алгебраическое уравнение|алгебраических уравнений]] на [[Теория Галуа|разрешимость в радикалах]], для чего [[Лагранж, Жозеф Луи|Лаrpанж]], [[Руффини, Паоло|Руффини]] и [[Абель, Нильс Хенрик|Абель]] глубоко исследовали [[Симметрическая группа|группы подстановок]] [[Корень многочлена|корней многочленов]]. В 1771 году Лагранж открыл для [[Циклическая группа|циклических групп]] подстановок [[Теорема Лагранжа (теория групп)|теорему, названную его именем]] и имеющую вполне общий характер. Абель существенно дополнил достижения Лагранжа, а поскольку он выяснил роль [[Абелева группа|коммутативных групп]] подстановок в данной проблеме, такие группы с тех пор называют абелевыми. В 1815 году [[Коши, Огюстен Луи|Коши]] доказал, что всякая группа, порядок которой делится на простое число p, обладает элементом порядка p. Доказательство имело общий характер, хотя Коши тоже ограничился группой подстановок.

Вторым объектом для будущей теории стали [[Класс вычетов|аддитивные группы вычетов]]. Простейшая нетривиальная группа из двух элементов рассматривалась ещё [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбницем]], а содержательную теорию этой структуры для произвольного [[Сравнение по модулю|модуля]] дали [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] и [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]].

Термин «группа» впервые появился в работах [[Галуа, Эварист|Галуа]], тоже изучавшего группы подстановок, однако определение было дано в достаточно общем виде. Галуа также ввёл фундаментальные понятия [[Нормальная подгруппа|нормальной подгруппы]], [[Факторгруппа|факторгруппы]], [[Разрешимая группа|разрешимой группы]].

В 1854 году [[Кэли, Артур|Кэли]] дал первое абстрактное определение группы. В работе 1878 года он доказал [[Теорема Кэли (теория групп)|ключевую теорему]] о представлении произвольной конечной группы подстановками. В 1872 году норвежский математик [[Сюлов, Петер-Людвиг Мейделль|Силов]] получил свои [[Теоремы Силова|знаменитые результаты]] о максимальных p-подгруппах, остающиеся фундаментом теории конечных групп и в наши дни.

Значительный вклад в теорию абстрактных конечных групп внес также [[Фробениус, Фердинанд Георг|Фробениус]], благодаря которому были полностью описаны конечные абелевы группы и создана теория их матричных представлений. К концу XIX века конечные группы с успехом применялись как в математике, так и в естественных науках (например, в [[Кристаллография|кристаллографии]]). В начале XX века труды [[Эмми Нётер]] и [[Артин, Эмиль|Артина]] заложили основы современной теории групп.

== См. также ==
{{кол|3}}
* [[Бесконечная группа]]
* [[Действие группы]]
* [[Классификация простых конечных групп]]
* [[Конечно определённая группа]]
* [[Кристаллографическая группа]]
* [[Локально конечная группа]]
* [[Остаточно конечная группа]]
* [[Представление группы]]
* [[Список групп малого порядка]]
* [[Спорадическая группа]]
* [[Теоремы Силова]]
{{конец кол}}

== Литература ==
* {{статья|автор=Вечтомов Е. М.|заглавие=О лагранжевых группах. §1. Из истории теории групп
   |издание=Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании
   |тип=Материалы международной научной конференции |место=Пермь
   |издательство=Пермский гос. педагогический университет |год=2007 |страницы=23—32}}.
* {{книга |автор=Винберг Э. Б. |заглавие = Курс алгебры |издание = 3-е изд.
   |место=М. |издательство=Факториал Пресс |год = 2002 |страниц = 544 |isbn=5-88688-060-7 }}.
* {{книга |автор=Горенстейн Д. |заглавие=Конечные простые группы. Введение в их классификацию 
   |место=М. |издательство=Мир |год=1985 |страниц= }}
* {{книга |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах)
   |место=М. |год=1982 |ref=Математическая энциклопедия
   |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu
   |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}
* {{книга |автор=Наварро, Хоакин. |заглавие=Зазеркалье. Симметрия в математике
   |место=М. |издательство=Де Агостини |год=2014 |страниц=160 |isbn=978-5-9774-0712-0
   |серия=Мир математики: в 45 томах, том 17 |ref=Хоакин Наварро }}
* ''Холл М.'' Теория групп. {{М}}: Издательство иностранной литературы, 1962.

== Ссылки ==
* [http://mathworld.wolfram.com/FiniteGroup.html Finite Group] на Wolfram Math World.{{ref-en}}

== Примечания ==
{{примечания}}

{{Внешние ссылки}}
{{Теория групп}}

[[Категория:Конечные группы]]
[[Категория:Свойства групп]]