Просмотр кода страницы Поверхность

{{другие значения}}
[[Файл:Saddle pt.jpg|thumb|300px|right|Пример простой поверхности]]
'''Пове́рхность''' в [[Аналитическая геометрия|геометрии]] и [[Топология|топологии]] — двумерное [[топологическое многообразие]]. Наиболее известными примерами поверхностей являются границы [[Тело (геометрия)|геометрических тел]] в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. С другой стороны, существуют поверхности (например, [[бутылка Клейна]]), которые нельзя вложить в трёхмерное евклидово пространство без привлечения [[Особенность|сингулярности]] или самопересечения.

«Двумерность» поверхности подразумевает возможность реализовать на ней [[метод координат]], хотя и необязательно для всех точек. Так, поверхность [[Земля|Земли]] (в идеале) представляет собой двумерную [[Сфера|сферу]], широта и долгота каждой точки которой являются её координатами (за исключением [[Географический полюс|полюсов]] и [[180-й меридиан|180-го меридиана]]).

Концепция поверхности применяется в [[физик]]е, [[Инженерное дело|инженерном деле]], [[Компьютерная графика|компьютерной графике]] и прочих областях при изучении физических объектов. Например, анализ [[Аэродинамическое качество|аэродинамических качеств]] самолёта базируется на обтекании потоком воздуха его поверхности.

== Способы задания ==
Поверхность определяется как множество [[Точка (геометрия)|точек]], [[координаты]] которых удовлетворяют определённому виду уравнений:
: <math>F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1)</math>

Если функция <math>F(x,\,y,\,z)</math> [[непрерывная функция|непрерывна]] в некоторой точке и имеет в ней непрерывные частные производные, по крайней мере одна из которых не обращается в нуль, то в окрестности этой точки поверхность, заданная уравнением (1), будет ''правильной поверхностью''.

Помимо указанного выше ''неявного способа задания'', поверхность может быть определена ''явно'', если одну из переменных, например, z, можно выразить через остальные:
: <math>z=f(x,y)\qquad (1')</math>

Также существует [[Параметрическое задание поверхности|параметрический]] способ задания. В этом случае поверхность определяется системой уравнений:
: <math>\left\{ \begin{array}{ccc} 
x &=& x(u,v) \\
y &=& y(u,v) \\
z &=& z(u,v)
\end{array}\right.\qquad (1'')</math>

== Понятие о простой поверхности ==
{{main|Простая поверхность}}
Интуитивно простую поверхность можно представить как кусок [[Плоскость (геометрия)|плоскости]], подвергнутый [[Непрерывность (математика)|непрерывным]] [[деформация]]м ([[Афинные преобразования|растяжениям, сжатиям]] и [[изгиб]]аниям).

Более строго, '''''простой поверхностью''''' называется образ [[Гомеоморфизм|гомеоморфного]] отображения (то есть взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения) внутренности единичного квадрата. Этому определению можно дать [[Математический анализ|аналитическое]] выражение.

Пусть на плоскости с прямоугольной системой координат u и v задан [[квадрат]], координаты внутренних точек которого удовлетворяют неравенствам 0 < u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с [[прямоугольная система координат|прямоугольной системой координат]] х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) ([[параметрические поверхности|параметрическое задание поверхности]]). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были [[непрерывная функция|непрерывными]] и чтобы для различных точек (u, v) и (u', v') были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x', у', z').

Примером ''простой поверхности'' является полусфера. Вся же [[сфера]] не является ''простой поверхностью''. Это вызывает необходимость дальнейшего обобщения понятия поверхности.

Подмножество пространства, у каждой точки которого есть окрестность, являющаяся ''простой поверхностью'', называется '''''правильной поверхностью'''''.

== Поверхность в дифференциальной геометрии ==
{{main|Дифференциальная геометрия поверхностей}}

{{Якорь|Гладкая поверхность}}
В [[Дифференциальная геометрия|дифференциальной геометрии]] исследуемые поверхности обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов дифференциального исчисления. Как правило, это — условия '''''гладкости поверхности''''', то есть существования в каждой точке поверхности определённой [[Касательная прямая|касательной]] плоскости, кривизны и т. д. Эти требования сводятся к тому, что функции, задающие поверхность, предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некоторых вопросах — неограниченное число раз [[дифференцируемая функция|дифференцируемыми]] или даже [[аналитические функции|аналитическими функциями]]. При этом дополнительно накладывается условие регулярности.

{{Якорь|Гладкая регулярная поверхность}}
'''Случай неявного задания'''. Поверхность, заданная уравнением <math>F(x,\,y,\,z)=0,\; F:\Omega\to\mathbb{R}^3</math>, является '''''гладкой регулярной поверхностью''''', если <math>\exist P_0(x_0,\,y_0,\,z_0):\;F(x_0,\,y_0,\,z_0)=0</math>, функция <math>F</math> [[Дифференцируемая функция|непрерывно дифференцируема]] в своей области определения <math>\Omega</math>, а её частные производные одновременно не обращаются в нуль (условие правильности) на всём множестве <math>\Omega</math>:
: <math>\left( \frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2>0</math>

'''Случай параметрического задания'''. Зададим поверхность [[вектор-функция|векторным уравнением]] <math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\ v)</math>, или, что то же самое, тремя уравнениями в координатах:
: <math>\begin{cases}
x = x(u, v) \\
y = y(u, v) \\
z = z(u, v)
\end{cases}
\qquad (u, v) \in \Omega.</math>

Эта система уравнений задаёт гладкую регулярную поверхность, если выполнены условия:
* система устанавливает взаимно однозначное соответствие между образом и прообразом <math>\Omega</math>;
* функции <math>x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)</math> непрерывно дифференцируемы в <math>\Omega</math>;
* выполнено условие невырожденности:
: <math>\begin{vmatrix}x'_u & x'_v \\ y'_u & y'_v \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}y'_u & y'_v \\ z'_u & z'_v \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}z'_u & z'_v \\ x'_u & x'_v \end{vmatrix}^2>0</math>
Геометрически последнее условие означает, что векторы <math>\frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}</math> нигде не параллельны.

[[Файл:Sphere-wireframe.png|thumb|left|Координатная сетка на сфере]]
Параметры ''u, v'' можно рассматривать как внутренние координаты точек поверхности. Фиксируя одну из координат, мы получаем два семейства '''координатных кривых''', покрывающих поверхность координатной сеткой.

'''Случай явного задания'''. Поверхность <math>S</math> может быть определена как график функции <math>z=f(x,y)</math>; тогда <math>S</math> является ''гладкой регулярной поверхностью'', если функция <math>f</math> дифференцируема. Этот вариант можно рассматривать как частный случай параметрического задания: <math>x=u;\ y=v;\ z=f(u,v)</math>.
{{clear}}

=== Касательная плоскость ===
[[Файл:Tangentialvektor.svg|thumb|Касательная плоскость в точке поверхности]]
'''Касательная плоскость''' в точке гладкой поверхности — это плоскость, имеющая максимальный порядок [[Дифференциальная геометрия кривых#Соприкосновение|соприкосновения]] с поверхностью в этой точке. Эквивалентный вариант определения: касательная плоскость есть плоскость, содержащая [[касательная прямая|касательные]] ко всем гладким кривым, проходящим через эту точку.

Пусть гладкая кривая на параметрически заданной поверхности <math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\ v)</math> задана в виде
: <math>u = u(t),\quad v = v(t)</math>.
Направление <math>\mathbf{v}</math> касательной к такой кривой даёт вектор
: <math>\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} \frac{du}{dt} + \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} \frac{dv}{dt}.</math>

Отсюда видно, что все касательные ко всем кривым в данной точке лежат в одной плоскости, содержащей векторы <math>\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}</math>, которые мы выше предположили независимыми.

Уравнение касательной плоскости в точке <math>\mathbf{r}_0 = (x_0, y_0, z_0)</math> соответствует обнулению [[смешанное произведение|смешанного произведения]] векторов:
: <math>\left(\mathbf{r} - \mathbf{r_0}, \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\right) = 0.</math>

В координатах уравнения касательной плоскости для разных способов задания поверхности в точке <math>(x_0, y_0, z_0)</math> имеют следующий вид:
; неявное задание: <math>\frac{\partial F}{\partial x}(x - x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(y - y_0) + \frac{\partial F}{\partial z}(z - z_0) = 0,</math>
; явное задание: <math>\frac{\partial f}{\partial x}(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(y - y_0) = (z - z_0),</math>
; параметрическое задание: <math>\begin{vmatrix}
 x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\
 x_u' & y_u' & z_u' \\
 x_v' & y_v' & z_v'
\end{vmatrix} = 0.</math>
Все производные берутся в точке <math>(x_0, y_0, z_0)</math>.

=== Метрика и внутренняя геометрия ===
Вновь рассмотрим гладкую кривую
: <math>u = u(t),\quad v = v(t)</math>.
Элемент [[Длина кривой|её длины]] определяется из соотношения
: <math>ds^2 = |d\mathbf{r}|^2 = \left(\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} du + \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} dv\right)^2 = E\,du^2 + 2 F\,du\,dv + G\,dv^2,</math>
где <math>E = \mathbf{r'_u}\mathbf{r'_u},\ F = \mathbf{r'_u}\mathbf{r'_v},\ G = \mathbf{r'_v}\mathbf{r'_v}</math>.

Эта [[квадратичная форма]] называется [[Первая квадратичная форма|''первой квадратичной формой'']] и представляет собой двумерный вариант [[Метрический тензор|метрики]] поверхности. Для регулярной поверхности её [[дискриминант]] <math>EG-F^2>0</math> во всех точках. Коэффициент <math>F=0</math> в точке поверхности тогда и только тогда, когда в этой точке координатные кривые ортогональны. В частности, на плоскости с декартовыми координатами <math>u, v</math> получается метрика <math>ds^2 = du^2 + dv^2</math> ([[теорема Пифагора]]).

[[Файл:Helicoid.PNG|thumb|left|Геликоид]]
[[Файл:Catenoid.png|thumb|Катеноид]]
Метрика не определяет однозначно форму поверхности. Например, метрики [[геликоид]]а и [[катеноид]]а, параметризованных соответствующим образом, совпадают, то есть между их областями существует соответствие, сохраняющее все длины ([[Изометрия (математика)|изометрия]]). Свойства, сохраняющиеся при изометрических преобразованиях, называются '''внутренней геометрией''' поверхности. Внутренняя геометрия не зависит от положения поверхности в пространстве и не меняется при её изгибании без растяжения и сжатия (например, при изгибании [[цилиндр]]а в [[конус]]){{sfn|Рашевский П. К.|1950|loc=Глава 7}}.

Метрические коэффициенты <math>E, F, G</math> определяют не только длины всех кривых, но и вообще результаты всех измерений внутри поверхности (углы, площади, [[кривизна]] и др.). Поэтому всё, что зависит только от метрики, относится к внутренней геометрии.
{{clear}}

=== Нормаль и нормальное сечение ===
[[Файл:Surface normal.png|thumb|Векторы нормали в точках поверхности]]
Одной из основных характеристик поверхности является её ''[[нормаль]]'' — единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в заданной точке:
: <math>\mathbf{m} = \frac{[\mathbf{r'_u}, \mathbf{r'_v}]} {|[\mathbf{r'_u}, \mathbf{r'_v}]|}</math>.
Знак нормали зависит от выбора координат.

Сечение поверхности плоскостью, содержащей нормаль поверхности в заданной точке, образует некоторую кривую, которая называется '''нормальным сечением''' поверхности. [[Главная нормаль]] для нормального сечения совпадает с нормалью к поверхности (с точностью до знака).

Если же кривая на поверхности не является нормальным сечением, то её главная нормаль образует с нормалью поверхности некоторый угол <math>\theta</math>. Тогда кривизна <math>k</math> кривой связана с кривизной <math>k_n</math> нормального сечения (с той же касательной) [[Теорема Мёнье|формулой Мёнье]]:
: <math>k_n = \pm k \cos\theta.</math>

Координаты орта нормали для разных способов задания поверхности:
; неявное задание: <math>
 \frac{\displaystyle\left(\frac{\partial F}{\partial x}; \frac{\partial F}{\partial y}; \frac{\partial F}{\partial z}\right)}
      {\displaystyle\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial z}\right)^2}},
</math>
; явное задание: <math>
 \frac{\displaystyle\left(-\frac{\partial f}{\partial x}; -\frac{\partial f}{\partial y}; 1\right)}
      {\displaystyle\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 + 1}},
</math>
; параметрическое задание: <math>
 \frac{\displaystyle\left(\frac{D(y, z)}{D(u, v)}; \frac{D(z, x)}{D(u, v)}; \frac{D(x, y)}{D(u, v)}\right)}
      {\displaystyle\sqrt{\left(\frac{D(y, z)}{D(u, v)}\right)^2 + \left(\frac{D(z, x)}{D(u, v)}\right)^2 + \left(\frac{D(x, y)}{D(u, v)}\right)^2}}.</math>
Здесь
: <math>
 \frac{D(y, z)}{D(u, v)} = \begin{vmatrix}y'_u & y'_v \\ z'_u & z'_v \end{vmatrix},\quad
 \frac{D(z, x)}{D(u, v)} = \begin{vmatrix} z'_u & z'_v\\ x'_u & x'_v \end{vmatrix},\quad
 \frac{D(x, y)}{D(u, v)} = \begin{vmatrix}x'_u & x'_v \\ y'_u & y'_v \end{vmatrix},
</math>
и все производные берутся в точке <math>(x_0, y_0, z_0)</math>.

=== Кривизна ===
Для разных направлений в заданной точке поверхности получается разная кривизна нормального сечения, которая называется '''нормальной кривизной'''; ей приписывается знак плюс, если главная нормаль кривой идёт в том же направлении, что и нормаль к поверхности, или минус, если направления нормалей противоположны.

Вообще говоря, в каждой точке поверхности существуют два перпендикулярных направления <math>e_1</math> и <math>e_2</math>, в которых нормальная кривизна принимает минимальное и максимальное значения; эти направления называются ''главными''. Исключение составляет случай, когда нормальная кривизна по всем направлениям одинакова (например, у сферы или на торце [[эллипсоид]]а вращения), тогда все направления в точке — главные.

[[Файл:Gaussian curvature.PNG|thumb|Поверхности с отрицательной (слева), нулевой (в центре) и положительной (справа) кривизной.]]
Нормальные кривизны в главных направлениях называются '''главными кривизнами'''; обозначим их <math>\kappa_1</math> и <math>\kappa_2</math>. Величина:
: <math>K=\kappa_1\kappa_2</math>
называется [[Кривизна Гаусса|гауссовой кривизной]], полной кривизной или просто кривизной поверхности. Встречается также термин '''скаляр кривизны''', который подразумевает результат [[Свёртка тензора|свёртки]] [[тензор кривизны|тензора кривизны]]; при этом скаляр кривизны вдвое больше, чем гауссова кривизна.

Гауссова кривизна может быть вычислена через метрику, и поэтому она является объектом внутренней геометрии поверхностей (отметим, что главные кривизны к внутренней геометрии не относятся). По знаку кривизны можно классифицировать точки поверхности (см. рисунок). Кривизна плоскости равна нулю. Кривизна сферы радиуса R всюду равна <math>\frac{1}{R^2}</math>. Существует и поверхность постоянной отрицательной кривизны — [[псевдосфера]].
{{clear}}

=== Геодезические линии, геодезическая кривизна ===
{{main|Геодезическая}}
Кривая на поверхности называется '''геодезической линией''', или просто '''геодезической''', если во всех её точках главная нормаль к кривой совпадает с нормалью к поверхности. Пример: на плоскости геодезическими будут прямые и отрезки прямых, на сфере — большие круги и их отрезки.

Эквивалентное определение: у геодезической линии проекция её главной нормали на касательную плоскость есть нулевой вектор. Если кривая не является геодезической, то указанная проекция ненулевая; её длина называется '''геодезической кривизной''' <math>k_g</math> кривой на поверхности. Имеет место соотношение:
: <math>k^2 = k_g^2 + k_n^2</math>,
где <math>k</math> — кривизна данной кривой, <math>k_n</math> — кривизна нормального сечения поверхности с той же касательной.

Геодезические линии относятся к внутренней геометрии. Перечислим их главные свойства.
* Через данную точку поверхности в заданном направлении проходит одна и только одна геодезическая.
* На достаточно малом участке поверхности две точки всегда можно соединить геодезической, и притом только одной. Пояснение: на сфере противоположные полюса соединяет бесконечное количество меридианов, а две близкие точки можно соединить не только отрезком большого круга, но и его дополнением до полной окружности, так что однозначность соблюдается только в малом.
* Геодезическая является кратчайшей. Более строго: на малом куске поверхности кратчайший путь между заданными точками лежит по геодезической.

=== Площадь ===
Ещё один важный атрибут поверхности — её [[площадь поверхности|''площадь'']], которая вычисляется по формуле
: <math>S= \iint |[\mathbf{r}'_u\times\mathbf{r}'_v]|\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v,</math>
где <math>\mathbf{r}'_u = \left\{\frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial u}\right\},\ \mathbf{r}'_v = \left\{\frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial v}\right\}</math>.

В координатах выражение для площади имеет следующий вид:
; явное задание: <math>
 \iint \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 + 1\,}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y,
</math>
; параметрическое задание: <math>
 \iint \sqrt{\left(\frac{D(x, y)}{D(u, v)}\right)^2 + \left(\frac{D(y, z)}{D(u, v)}\right)^2 + \left(\frac{D(z, x)}{D(u, v)}\right)^2}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.
</math>

== Поверхность в топологии ==

=== Ориентация ===
[[Файл:Möbius strip.jpg|thumb|Лента Мёбиуса.]]
Также важной характеристикой поверхности является её [[ориентация]].

Поверхность называется [[Двусторонняя поверхность|двусторонней]], если на всей её протяжённости она обладает непрерывным вектором нормали. В противном случае поверхность называют [[Односторонняя поверхность|односторонней]].

[[Ориентированная поверхность|Ориентированной]] называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали.

Примерами односторонних и, следовательно, неориентируемых поверхностей являются [[бутылка Клейна]] или [[Лента Мёбиуса|лист Мёбиуса]].

=== Типы поверхностей ===
* ''Замкнутая поверхность'' — компактная поверхность без границы.
* ''Открытая поверхность'' — полная некомпактная поверхность без границы; в случае вложенной поверхности дополнительно предполагается, что она образует замкнутое множество в объемлющем пространстве.
* [[ориентация|ориентируемые и неориентируемые поверхности]]

== Примеры ==
[[Файл:Surface of revolution illustration.png|thumb|right|Поверхность вращения, полученная путём вращения кривой <math>x = 2 + \cos z</math> вокруг оси {{math|''z''}}.]]

=== Поверхности вращения ===
{{Подробная статья|Поверхность вращения}}
Поверхность вращения может быть получена вращением кривой в плоскости {{math|''xz''}} вокруг оси {{math|''z''}} в предположении, что кривая не пересекает ось {{math|''z''}}. Предположим, что кривая задана выражением
: <math> x= \varphi(t),\,\, z=\psi(t)</math>
с {{math|''t''}} лежащим в {{math|(''a'', ''b'')}}, и параметризованная длиной дуги, так что
: <math> \dot{\varphi}^2 + \dot{\psi}^2 = 1.</math>
Тогда поверхность вращения является множеством точек
: <math>M=\{(\varphi(t)\cos \theta, \varphi(t)\sin \theta,\psi(t))\colon t\in (a,b), \theta\in [0,2\pi)\}.</math>

Гауссова кривизна и средняя кривизна задаются выражениями{{sfn|do Carmo|1976|с=161–162}}
: <math> K = -{\ddot{\varphi}\over \varphi},\,\, K_m = {-\dot{\psi} +\varphi(\dot{\psi}\ddot{\varphi} -\ddot{\psi}\dot{\varphi})\over 2 \varphi}. </math>

[[Файл:Ellipsoid Quadric.png|thumb|right|[[Эллипсоид]], поверхность второго порядка]]
Геодезические на поверхности вращение определяются {{не переведено 5|Отношение Клеро|отношением Клеро||Clairaut's relation}}.

=== Поверхность второго порядка ===
{{Подробная статья|Поверхность второго порядка}}
Рассмотрим поверхность второго порядка, заданную выражением{{sfn|Eisenhart|2004|с=228–229}}
: <math> {x^2\over a} + {y^2\over b} +{z^2\over c}=1.</math>
Эта поверхность позволяет параметризацию
: <math>x=\sqrt{a(a-u)(a-v)\over (a-b)(a-c)},\,\, y=\sqrt{b(b-u)(b-v)\over (b-a) (b-c)}, \,\, z=\sqrt{c(c-u)(c-v)\over (c-b)(c-a)}.</math>
Гауссова кривизна и средняя кривизна задаются выражением
: <math>K={abc\over u^2 v^2} ,\,\,K_m=-(u+v)\sqrt{abc\over u^3v^3}.</math>
[[Файл:Ruled hyperboloid.jpg|thumb|right|Однолистный [[гиперболоид]], являющийся линейчатой поверхностью в двух различных направлениях.]]

=== Линейчатые поверхности ===
{{Подробная статья|Линейчатая поверхность}}
Линейчатая поверхность является поверхностью, которая может быть получена движением прямой линии в <math>\mathbb{E}^3</math>{{sfn|Eisenhart|2004|с=241–250}}{{sfn|do Carmo|1976|с=188–197}}. Выбрав ''[[Директриса (геометрия)|директрису]]'' на поверхности, то есть гладкую кривую единичной скорости {{math|''c''(''t'')}}, ортогональную прямым, а затем выбрав <math>u(t)</math> как единичные вектора вдоль кривой в направлении прямых, для вектора скорости <math>v = c_t</math> и {{math|''u''}} выполняется
: <math>u\cdot v=0, \,\,\|u\|=1,\,\,\|v\|=1.</math>
Поверхность состоит из точек
: <math>c(t) + s\cdot u(t)</math>
при изменении {{math|''s''}} и {{math|''t''}}.

Тогда, если
: <math>a=\|u_t\|, \,\, b=u_t\cdot v, \,\, \alpha=-\frac{b}{a^2}, \,\, \beta=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a^2},</math>
гауссова и средняя кривизна задаются выражениями
: <math>K=-{\beta^2\over ((s-\alpha)^2 +\beta^2)^2} ,\,\, K_m=-{r[(s-\alpha)^2 +\beta^2)] +\beta_t(s-\alpha) + \beta\alpha_t\over
 [(s-\alpha)^2 +\beta^2]^{\frac32}}.</math>

Гауссова кривизна линейчатой поверхности обращается в нуль тогда и только тогда, когда <math>u_t</math> и {{math|''v''}} пропорциональны{{sfn|do Carmo|1976|с=194}}. Это условие эквивалентно тому, что поверхность является [[Огибающая|огибающей]] плоскостей вдоль кривой, содержащей касательный вектор {{math|''v''}} и ортогональный вектор {{math|''u''}}, то есть поверхность является [[Развёртывающаяся поверхность|развёртывающейся]] вдоль кривой{{sfn|Eisenhart|2004|с=61–65}}. Более обще поверхность в <math>\mathbb{E}^3</math> имеет нулевую гауссову кривизну близ точки тогда и только тогда, когда она развёртывается вблизи этой точки{{sfn|Eisenhart|2004}} (Эквивалентное условие даётся ниже в терминах метрики.)

=== Минимальные поверхности ===
{{Подробная статья|Минимальная поверхность}}
В 1760 году [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранж]] распространил результаты Эйлера [[Вариационное исчисление|вариационного исчисление]] с интегралами от одной переменной на интегралы от двух переменных{{sfn|Eisenhart|2004|с=250–269}}{{sfn|do Carmo|1976|с=197–213}}. Он обдумывал следующую задачу:

{{quotation|Если дана замкнутая кривая в <math>\mathbb{E}^3</math>, находим поверхность минимальной площади, имеющая кривую в качестве границы.}}

Такая поверхность называется '''минимальной поверхностью'''.

В 1776 году [[Мёнье де ла Плас, Жан Батист|Жан Батист Мёнье]] показал, что дифференциальное уравнение, полученное Лагранжем, эквивалентно обращению в нуль средней кривизны поверхности:

{{quotation|Поверхность минимальна тогда и только тогда, когда средняя кривизна обращается в нуль.}}

Минимальные поверхности имеют простую интерпретацию в реальной жизни — они имеют форму мыльной плёнки, если проволочную рамку окунуть в мыльный раствор и осторожно вынуть. Вопрос, существует ли минимальная поверхность с заданной границей, называется [[Задача Плато|задачей Плато]] по имени бельгийского физика [[Плато, Жозеф|Жозефа Плато]], который проводил эксперименты с мыльными плёнками в середине девятнадцатого века. В 1930 году [[Дуглас, Джесси|Джесси Дуглас]] и Тибор Радо дали положительный ответ на задачу Плато (Дуглас получил одну из первых [[Филдсовская премия|филдсовских премий]] за эту работу в 1936 году)<ref>Решение Дугласа описано в статье Куранта ({{harv|Courant|1950}}).</ref>.

Известно много примеров минимальных поверхностей, такие как [[катеноид]], [[геликоид]], [[поверхность Шерка]] и [[поверхность Эннепера]]. В этой области проводились интенсивные исследования, итог которых подведён в книге Оссермана{{sfn|Osserman|2002}}. В частности, результат Оссермана показывает, что если минимальная поверхность не планарна, то её образ при отображении Гаусса плотен в <math>S^2</math>.

[[Файл:Gaussian curvature.svg|thumb|right|Поверхности с постоянной отрицательной, нулевой и положительной кривизной Гаусса]]

=== Поверхности постоянной гауссовой кривизны ===
[[Файл:Beltrami.jpg|thumb|right|upright|[[Бельтрами, Эудженио|Эудженио Бельтрами]] (1835—1899)]]
Если поверхность имеет постоянную гауссову кривизну, она называется '''поверхностью постоянной кривизны'''{{sfn|Eisenhart|2004|с=270–291}}{{sfn|O'Neill|1997|с=249–251}}{{sfn|Hilbert, Cohn-Vossen|1952}}.

* Единичная [[сфера]] в <math>\mathbb{E}^3</math> имеет постоянную гауссову кривизну +1.
* Евклидова [[плоскость]] и [[цилиндр]] имеют постоянную гауссову кривизну 0.
* Поверхность вращения с <math>\varphi_{tt} = \varphi</math> имеет постоянную гауссову кривизну −1. Частный случай получается путём принятия <math>\varphi(t) = C \mathrm{ch}\,t</math>, <math>C \mathrm{sh}\,t</math> и <math>C e^t</math>{{sfn|O'Neill|1997|с=249–251}}{{sfn|do Carmo|1976|с=168–170}}{{sfn|Gray, Abbena, Salamon|2006}}. Последний случай является классической [[псевдосфера|псевдосферой]], образованной вращением [[Трактриса|трактрисы]] вокруг центральной оси. В 1868 году [[Бельтрами, Эудженио|Эудженио Бельтрами]] показал, что геометрия псеводосферы была напрямую связана с геометрией [[Геометрия Лобачевского|гиперболической плоскости]], открытой независимо [[Лобачевский, Николай Иванович|Лобачевским]] (1830) и [[Бойяи, Янош|Бойяи]] (1832). Уже в 1840 году Ф. Майндинг, студент Гаусса, получил тригонометрические формулы для псевдосферы, идентичные формулам для гиперболической плоскости{{sfn|Stillwell|1996|с=1–5}}. Эта поверхность постоянной кривизны ныне лучше понимается в терминах [[Метрика Пуанкаре|метрики Пуанкаре]] на [[Верхняя полуплоскость|верхней полуплоскости]] или [[Единичный круг|единичном круге]] и может быть описана другими моделями, такими как [[Проективная модель|модель Кляйна]] или [[гиперболоидная модель]], полученная рассмотрением двулистного гиперболоида <math>q(x, y, z) = -1</math> в трёхмерном [[Пространство Минковского|пространстве Минковского]], где <math>q(x, y, z) = x^2 + y^2 - z^2</math>{{sfn|Wilson|2008}}.

Каждая из этих поверхностей постоянной кривизны имеет [[Действие группы|транзитивную]] [[Группа Ли|группу Ли]] симметрий. Этот теоретико-групповой факт имеет далеко идущие следствия, которые особенно замечательны ввиду центральной роли, которую играют эти специальные поверхности в геометрии поверхностей согласно [[Теорема об униформизации|теореме об униформизации]] [[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]] (см. ниже).

Другие примеры поверхностей с гауссовой кривизной 0 включают [[конус]]ы,
{{не переведено 5|Развёртывающаяся поверхность касательных|развёртывающиеся поверхности касательных||tangent developable}} и, более обще, любая [[развёртывающаяся поверхность]].

== Обобщение ==
О многомерных аналогах теории см.:
* [[Гиперповерхность]]
* [[Многообразие]]
* [[Подмногообразие]]
* [[Тензорный анализ]]

== Примечания ==
{{Викисловарь}}
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Ильин В. А., Позняк Э. Г.|заглавие=Аналитическая геометрия|место=М.|издательство=ФИЗМАТЛИТ|год=2002|страниц=240}}
* {{книга|автор=Кудрявцев Л. Д.|заглавие=Курс математического анализа|издательство=Дрофа|место=М.|страниц=570}}
* {{книга|автор=Погорелов А. И.|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Pogorelov1974ru.djvu |название=Дифференциальная геометрия |издание=6-е издание |место=М.|издательство=Наука|год=1974}}
* {{книга|автор=Рашевский П. К.|название=Курс дифференциальной геометрии|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Rashevskij1950ru.djvu|издание=3-е издание|место=М.|издательство=ГИТТЛ|год=1950|ref=Рашевский П. К.}}
* {{ВТ-ЭСБЕ}}
* {{книга
|автор=Abbena E., Salamon S., Gray A. 
|ref=Abbena, Salamon, Gray 
|часть=Minimal Surfaces via Complex Variables
|заглавие=Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica 
|издательство=CRC Press 
|место=Boca Raton 
|год=2006 
|isbn=1-58488-448-7
}}

== Ссылки ==
* [https://www.youtube.com/watch?v=afnObNhjWNM Образование поверхностей перемещением кривых, видео] {{Wayback|url=https://www.youtube.com/watch?v=afnObNhjWNM |date=20160923175930 }}

{{Топология|state=collapsed}}
{{Нет полных библиографических описаний}}

[[Категория:Дифференциальная геометрия поверхностей]]
[[Категория:Аналитическая геометрия]]
[[Категория:Топология]]
[[Категория:Поверхности|*]]
[[Категория:Маломерная топология]]