Позиционная сила

Позиционная сила — сила, действующая на материальную точку и зависящая только от координат материальной точки. Примерами позиционных сил являются: сила упругости, сила всемирного тяготения. Прямолинейные колебания материальной точки под действием позиционной силы всегда являются изохронными.

Прямолинейные колебания точки под действием позиционной силы

При прямолинейном движении по оси $Ox$ проекция позиционной силы выражается формулой $P_{x}=f(x)$. При начальных данных $t_{0},x_{0},v_{0}$ согласно закону сохранения энергии, скорость $v$ определяется формулой $v^{2}=v_{0}^{2}+{\frac {2}{m}}\int _{x_{0}}^{x}f(x)dx$. Движение происходит на отрезке оси $Ox$, на котором функция $\psi (x)=v_{0}^{2}+{\frac {2}{m}}\int _{x_{0}}^{x}f(x)dx$ не отрицательна,$\psi (x)\geqslant 0$. Если уравнение $\psi (x)=0$ имеет два простых корня $x_{1}$ и $x_{2}$, между которыми лежит начальная абсцисса $x_{0}$, так что $\psi (x_{1})=\psi (x_{2})=0,\psi _{1}^{'}(x_{1})>0,\psi _{2}^{'}(x_{2})<0$, то движение представляет собой колебания на отрезке $x_{1}\leqslant x\leqslant x_{2}$ с периодом $\tau =\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {dx}{\sqrt {\psi (x)}}}$. Эти колебания являются изохронными, так как их период постоянен. При $v_{0}<0$ первый момент $t_{1}$, когда точка достигает конца интервала колебания и получает скорость, равную нулю, определяется формулой $t_{1}=t_{0}+\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {dx}{\sqrt {\psi (x)}}}$, последующие моменты, в которые $v=0$, связаны друг с другом соотношением $t_{n}=t_{n-1}+\tau$