Просмотр кода страницы Предел (теория категорий)

{{Значения|Предел}}
'''Преде́л''' в [[Теория категорий|теории категорий]] — понятие, обобщающее свойства таких конструкций, как [[произведение (теория категорий)|произведение]], [[декартов квадрат]] и [[обратный предел]]. [[двойственность (теория категорий)|Двойственное]] понятие '''копредела''' обобщает свойства таких конструкций, как [[дизъюнктное объединение]], [[копроизведение]], [[кодекартов квадрат]] и [[прямой предел]].

Пределы и копределы, как и тесно связанные с ними понятия [[универсальное свойство|универсального свойства]] и [[сопряжённые функторы|сопряжённых функторов]] являются понятиями высокого уровня абстракции. Чтобы лучше их понять, полезно сначала изучить примеры конструкций, которые эти понятия обобщают.

== Определение ==
Пределы и копределы определяются при помощи [[диаграмма (теория категорий)|диаграмм]]. Диаграмма типа {{math|''J''}} в категории {{math|''C''}} — это функтор:
: {{math|''F'' : ''J'' → ''C''}}.

Категория {{math|''J''}}  является индексирующей категорией и функтор {{math|''F''}} играет роль разметки объектов и морфизмов категории {{math|''C''}} в терминах категории {{math|''J''}}.  Наибольший интерес представляет случай, когда {{math|''J''}} — [[малая категория|малая]] или конечная категория. В этом случае диаграмма {{math|''F'' : ''J'' → ''C''}} называется малой или конечной.

Пусть {{math|''F'' : ''J'' → ''C''}} — диаграмма типа {{math|''J''}} в категории {{math|''C''}}.{{iw|Конус (теория категорий)|Конус|en|Cone (category theory)}} над {{math|''F''}} — это такой объект {{math|''N''}} в {{math|''C''}} вместе с семейством морфизмов {{math|ψ<sub>''X''</sub> : ''N'' → ''F''(''X'')}}, индексированных объектами {{math|''X''}} из категории {{math|''J''}}, такой что для любого морфизма {{math|''f'' : ''X'' → ''Y'' в ''J''}} верно, что {{math|''F''(''f'') o ψ<sub>''X''</sub> {{=}} ψ<sub>''Y''</sub>}}.

'''Предел''' диаграммы {{math|''F'' : ''J'' → ''C''}} — это конус {{math|(''L'', φ)}} над {{math|''F''}} такой, что для любого конуса {{math|(''N'', ψ)}} над {{math|''F''}} существует единственный морфизм {{math|''u'' : ''N'' → ''L''}}, такой что {{math|φ<sub>''X''</sub> o ''u'' {{=}} ψ<sub>''X''</sub>}} для всех {{math|''X''}} в {{math|''J''}}.{{sfn|Гольдблатт|1983|с=70-71}}
[[Файл:Functor cone (extended).svg|center|A universal cone]]

Аналогичным образом определяется понятие '''копредела''' — нужно обратить все стрелки. А именно:

[[конус (теория категорий)|Коконус]] диаграммы {{math|''F'' : ''J'' → ''C''}} — это объект {{math|''N''}} категории {{math|''C''}} вместе с семейством морфизмов:
: {{math|ψ<sub>''X''</sub> : ''F''(''X'') → ''N''}}
для каждого {{math|''X''}} в {{math|''J''}}, такой, что для любого морфизма {{math|''f'' : ''X'' → ''Y'' в ''J''}} верно {{math|ψ<sub>''Y''</sub> o ''F''(''f'') {{=}} ψ<sub>''X''</sub>}}.

'''Копредел''' диаграммы {{math|''F'' : ''J'' → ''C''}} — это коконус {{math|(''L'', φ)}} такой, что для любого другого коконуса {{math|(''N'', ψ)}} существует единственный морфизм {{math|''u'' : ''L'' → ''N''}}, такой, что {{math|''u'' o φ<sub>''X''</sub> {{=}} ψ<sub>''X''</sub>}} для всех {{math|''X''}} в {{math|''J''}}.

[[Файл:Functor co-cone (extended).svg|center|A universal co-cone]]

Как и любые универсальные объекты, пределы и копределы не всегда существуют, но если существуют, то определены с точностью до изоморфизма.

== Примеры пределов ==
Определение категорного предела достаточно широкое, чтобы обобщить иные часто используемые категорные конструкции. В примерах рассматривается предел {{math|(''L'', φ)}} диаграммы {{math|''F'' : ''J'' → ''C''}}.
* Терминальные объекты. Если {{math|''J''}} — пустая категория, в {{math|''C''}} существует только одна диаграмма типа {{math|''J''}} — пустая. Конус над пустой диаграммой это просто любой объект категории {{math|''C''}}. Предел над {{math|''F''}} — это любой такой объект, в который существует единственный морфизм из любого объекта, то есть терминальный объект.
* [[произведение (теория категорий)|Произведения]]. Здесь {{math|''J''}} — дискретная категория (без нетождественных морфизмов), а диаграмма определенная функтором {{math|''F''}} — семейство объектов {{math|''C''}} проиндексированных {{math|''J''}}  и предел — это их произведение вместе с проекциями на сомножители, проекции образуют семейство морфизмов из определения конуса.  
* [[Уравнитель (математика)|Уравнитель]]. Здесь {{math|''J''}} — категория из двух объектов и двух параллельных морфизмов, тогда {{math|''F''}} — два параллельных морфизма и предел — это их уравнитель.
** [[Ядро (теория категорий)|Ядро]] — это частный случай уравнителя, где один из морфизмов нулевой.
* [[Декартов квадрат]]. Здесь {{math|''J''}} состоит из трёх объектов и морфизмов из первого и второго объекта в третий.
* Если {{math|''J''}} — категория из одного элемента и тождественного морфизма, то предел — это тот элемент, в который отобразилась {{math|''J''}}.
* Топологические пределы. Пределы функций — частный случай пределов [[фильтр (математика)|фильтров]], которые связаны с категорными пределами следующим образом. В данном [[топологическое пространство|топологическом пространстве]] {{math|''X''}} рассмотрим {{math|''F''}} — множество фильтров на {{math|''X''}}, точку {{math|''x'' ∈ ''X'', ''V''(''x'') ∈ ''F''}} — фильтр окрестностей {{math|''x'', ''A'' ∈ ''F''}} — некоторый конкретный фильтр и <math>F_{x,A}=\{G\in F \mid V(x)\cup A \subset G\} </math> — множество фильтров тоньше {{math|''A''}} и сходящихся к {{math|''x''}}. На фильтрах {{math|''F''}} можно задать структуру категории, сказав, что стрелка {{math|''A'' → ''B''}} существует тогда и только тогда, когда {{math|''A'' ⊆ ''B''}}. Вложение <math>I_{x,A}:F_{x,A}\to F</math> становится функтором и выполняется следующее утверждение:
*: {{math|''x''}} — топологический предел {{math|''A''}} тогда и только тогда, когда {{math|''A''}} — категорный предел <math>I_{x,A}</math>.<ref>{{Cite web |url=http://math.stackexchange.com/questions/60590/category-theoretic-limit-related-to-topological-limit |title=Mathematics Stack Exchange, answer of Stephan F. Kroneck |access-date=2014-04-06 |archive-date=2013-05-01 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130501142512/http://math.stackexchange.com/questions/60590/category-theoretic-limit-related-to-topological-limit |deadlink=no }}</ref>

== Свойства ==

=== Существование ===
Говорят, что категория '''имеет пределы типа {{math|''J''}}''', если любая диаграмма типа {{math|''J''}} имеет предел.

Категория называется [[Полная категория|''полной'']], если она имеет предел для любой малой диаграммы (то есть диаграммы, элементы которой образуют множество). Аналогично определяются ''конечно полные'' и ''кополные'' категории.

=== Универсальное свойство ===
Рассмотрим категорию {{math|''C''}} с диаграммой {{math|''J''}}. Категорию функторов {{math|''C''<sup>''J''</sup>}} можно считать категорией диаграмм типа {{math|''J''}} в {{math|''C''}}. [[Диагональный функтор]] <math>\Delta : \mathcal C \to \mathcal C^{\mathcal J}</math> — это функтор, отображающий элемент {{math|''N''}} категории {{math|''C''}} в постоянный функтор {{math|Δ(''N'') : ''J'' → ''C''}}, отображающий всё в {{math|''N''}}.

Для данной диаграммы {{math|''F'': ''J'' → ''C''}} (понимаемой как объект {{math|''C''<sup>''J''</sup>}}), [[естественное преобразование]] {{math|ψ : Δ(''N'') → ''F''}} (понимаемое как морфизм категории {{math|''C''<sup>''J''</sup>}}) — то же самое, что конус из {{math|''N''}} в {{math|''F''}}. Компоненты {{math|ψ}} — морфизмы {{math|ψ<sub>''X''</sub> : ''N'' → ''F''(''X'')}}.
Определения предела и копредела можно переписать как{{sfn|Маклейн|2004|с=81, 83}}:
* Предел {{math|''F''}} — универсальная стрелка из {{math|Δ}} в {{math|''F''}}.
* Копредел {{math|''F''}} — универсальная стрелка из {{math|''F''}} в {{math|Δ}}.

== Функторы и пределы ==
Функтор {{math|''G'' : ''C'' → ''D''}} индуцирует отображение из {{math|Cone(''F'')}} в {{math|Cone(''GF'')}}. {{math|''G''}} '''сохраняет пределы в {{math|''F''}}''', если {{math|(''GL'', ''G''φ)}} — предел {{math|''GF''}}, когда {{math|(''L'', φ)}} — предел {{math|''F''}}{{sfn|Маклейн|2004|с=137}}. Функтор {{math|''G''}} '''сохраняет все пределы типа {{math|''J''}}''', если он сохраняет пределы всех диаграмм {{math|''F'' : ''J'' → ''C''}}. Например, можно говорить, что {{math|''G''}} сохраняет произведения, уравнители и т. д. '''Непрерывный функтор''' — это функтор, сохраняющий все ''малые'' пределы. Аналогичные определения вводятся для копределов.

Важное свойство [[сопряжённые функторы|сопряжённых функторов]] — то, что каждый правый сопряженный функтор непрерывен и каждый левый сопряженный функтор конепрерывен{{sfn|Маклейн|2004|с=140}}.

Функтор {{math|''G'' : ''C'' → ''D''}} '''поднимает пределы''' для диаграммы {{math|''F'' : ''J'' → ''C''}} если из того, что {{math|(''L'', φ)}} — предел {{math|''GF''}} следует, что существует предел {{math|(''L''′, φ′)}} в {{math|''F''}}, такой что {{math|''G''(''L''′, φ′) {{=}} (''L'', φ)}}{{sfn|Adámek|1990|p=227}}. Функтор {{math|''G''}} '''поднимает пределы типа {{math|''J''}}''', если он поднимает пределы для всех диаграмм типа {{math|''J''}}. Существуют двойственные определения для копределов.

==Примечания==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{Книга:Категории для работающего математика|3}}
* {{книга |автор= Р. Голдблатт.|заглавие= Топосы. Категорный анализ логики|ссылка= |место= М.|издательство= Мир|год= 1983|страниц= 487|ref= Гольдблатт}}
* {{книга |автор= Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.|заглавие= Abstract and Concrete Categories|ссылка= http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf|год= 1990|ref= Adámek}} Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free online edition).

[[Категория:Теория категорий]]
[[Категория:Пределы (теория категорий)]]