Просмотр кода страницы Промежуток (математика)

{{значения|Промежуток (значения)}}
'''Промежуток'''<ref name="Кудрявцев">{{книга
|автор        = Кудрявцев, Л. Д.
|заглавие     = Курс математического анализа
|издание      = 5-е изд
|место        = М.
|издательство = «Дрофа»
|год          = 2003
|том          = 1
|страницы     = 64—65
|страниц      = 704
|isbn         = 5-7107-4119-1
}}</ref>, или, если более точно, '''промежуток [[Числовая прямая|числовой прямой]]''', — это [[множество]] [[Вещественное число|вещественных чисел]] — таких, что если некоторые два числа принадлежат этому множеству, то любое число, лежащее между ними, тоже принадлежит этому множеству<ref>В ряде источников описывается как ''интервал''; например, см. {{Из КНЭ|2|481|Интервал}}</ref>. С использованием [[Логика первого порядка|логических символов]] это определение можно записать так:

: множество <math>X \subseteq \mathbb{R}</math> является промежутком, [[Тогда и только тогда|''только'' если]]
: <math>\forall x \forall y \forall z \big( (x \in X ) \wedge (z \in X ) \wedge (x <y < z) \Rightarrow y \in X \big),</math>

где <math>\forall</math> — [[квантор всеобщности]]. В качестве примеров промежутков можно привести следующие множества:
: <math>
\begin{aligned}
X_1 &= \{ x \in \mathbb{R} \colon 0 \leqslant x \leqslant 1\}, &
X_2 &= \{ x \in \mathbb{R} \colon 0 \leqslant x <         1\}, &
X_3 &= \{ x \in \mathbb{R} \colon 0 <         x \leqslant 1\}, \\
X_4 &= \{ x \in \mathbb{R} \colon 0 <         x <         1\}, &
X_5 &= \{ x \in \mathbb{R} \colon x > 0\}, &
X_6 &= \{ x \in \mathbb{R} \colon x < 1\},\\
X_7 &= \mathbb{R}, &
X_8 &= \varnothing.
\end{aligned}
</math>

== Типы промежутков ==

=== Конечный промежуток ===
''Конечный'' промежуток состоит из множества чисел, [[Ограниченное множество|заключённых]] между двумя числами <math>a</math> и <math>b</math> — ''концами промежутка'', которые сами могут быть включены в его состав, или нет<ref name="Кудрявцев"></ref>. Если {{Nums|''a''|3=''b''|x=≤}}, то ''[[Длина|длиной]]'' такого промежутка называется число <math>|a - b| = |b - a| = b - a</math>.

==== [[Замкнутое множество|Замкнутый (закрытый)]] конечный промежуток ====
Если <math>a \leqslant b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}</math>, то промежуток <math>\{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x \leqslant b \}</math> называется ''сегментом''<ref name=":0">{{Книга|автор = [[Ильин, Владимир Александрович (математик)|{{nobr|В. А. Ильин}}]], [[Садовничий, Виктор Антонович|{{nobr|В. А. Садовничий}}]], [[Сендов, Благовест|{{nobr|Бл. Х. Сендов}}]]|заглавие = Математический анализ|ответственный = {{nobr|под ред. [[Тихонов, Андрей Николаевич|А. Н. Тихонова]]}}|издание = {{nobr|3-е изд.}}, перераб. и доп|место = М.|издательство = Проспект|год = 2006|страницы = 53|страниц = 672|isbn = 5-482-00445-7|часть = Глава 2. Вещественные числа|ссылка = http://sci-lib.com/book000401.html|том = I|archive-date = 2015-06-23|archive-url = https://web.archive.org/web/20150623071551/http://sci-lib.com/book000401.html}}</ref> или числовым ''[[отрезок|отрезком]]'' и обозначается <math>[a, b]</math>:
: <math>
[a, b]\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x \leqslant b \}.
</math><!-- пока \stackrel сломан, пробелы добавлены вручную -->
В случае <math>a = b</math> отрезок [[Вырождение (математика)|вырождается]] в множество из одной точки (в [[Синглетон (математика)|синглетон]]).

==== [[Открытое множество|Открытый]] конечный промежуток ====
Если <math>a < b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}</math>, то промежуток <math>\{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}</math> называется ''{{видимый якорь|интервал|текст=интервалом}}'' и обозначается <math>(a, b)</math>:
: <math>
(a, b)\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}.
</math><!-- пока \stackrel сломан, пробелы добавлены вручную -->

Для обозначения открытого промежутка вместо <math>(a, b)</math> нередко используют обозначение <math>]a, b[</math> с подачи [[Никола Бурбаки|Н. Бурбаки]].

==== Полузамкнутый (полуоткрытый) конечный промежуток ====
Промежутки
: <math>
[a, b)\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x < b \}, \quad 
(a, b]\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \{x \in \mathbb{R} \colon a < x \leqslant b \}
</math><!-- пока \stackrel сломан, пробелы добавлены вручную -->
называются ''полусегментами'' (не дополненными до сегмента) или ''полуинтервалами''.

=== Бесконечный промежуток ===
''Бесконечные'' промежутки
: <math>
\{x \in \mathbb{R} \colon x \geqslant a \}, \quad
\{x \in \mathbb{R} \colon x >         a \}, \quad
\{x \in \mathbb{R} \colon x \leqslant b \}, \quad
\{x \in \mathbb{R} \colon x <         b \} \quad
</math>и<math>
\quad\mathbb{R}
</math>
с положительной или с отрицательной стороны [[Ограниченное множество|не ограничены]] каким-либо вещественным числом. В этом случае удобно считать, что у этих промежутков одним из ''концов'' или обоими ''концами'' служат ''несобственные числа'' <math>-\infty</math> и <math>+\infty</math>, полагая, что для любого вещественного числа <math>x \in \mathbb{R}</math> справедливо соотношение <math>-\infty < x < + \infty</math>. Обозначения и наименования бесконечных промежутков аналогичны тем названиям, какие они есть для конечных промежутков. Например, [[Промежуток (математика)#Бесконечный промежуток|вышенаписанные]] множества можно переписать соответственно как

: <math>
[a, +\infty), \quad 
(a, +\infty), \quad 
(-\infty, b], \quad 
(-\infty, b), \quad 
(-\infty, +\infty),
</math>

при этом из-за того, что <math>-\infty</math> и <math>+\infty</math> по определению не входят в <math>
\R,
</math> они не включаются в эти множества.

=== Пустой промежуток ===
''[[Пустое множество]]'' <math>\varnothing</math> также является промежутком, тривиально попадая под его определение:

: <math>[b,a]=(b,a)=[b,a)=(b,a]=(a,a)=[a,a)=(a,a]=\varnothing,</math>
:где {{Nums|''a''|3=''b''|x=<}}.

== Промежутки аффинно расширенной числовой прямой ==
{{main|Расширенная числовая прямая}}
Множество вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>, дополненное элементами <math>+\infty</math> и <math>-\infty</math>, называется '''расширенной''' (точнее, '''аффинно''' '''расширенной''', чтобы отличать от [[Проективно расширенная числовая прямая|проективно расширенной прямой]]) числовой прямой и обозначается <math>\overline{\mathbb{R}}</math>, то есть
: <math>
\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ -\infty, +\infty\}=[-\infty,+\infty].
</math>

При этом для любого вещественного числа <math>x \in \mathbb{R}</math> по определению полагают выполненными неравенства
: <math>
-\infty < x, \quad x < +\infty, \quad -\infty < +\infty
</math>

Для расширенной числовой прямой тоже вводят понятия промежутков — отрезков, интервалов, полуинтервалов<ref name="Кудрявцев"></ref>. В отличие от соответствующих промежутков числовой прямой, они могут содержать элементы <math>\pm \infty</math>. Например, <math>(a, +\infty] = (a, +\infty) \cup {\{+\infty\}}</math>.

== Терминология ==
В [[русский язык|русском языке]] слова ''промежуток'' и ''интервал'' соответствуют одному английскому слову {{lang-en2|interval}}. В англоязычной литературе<ref name="Counterexamples">{{книга
|автор = Гелбаум, Б., Олмстед, Дж.
|заглавие = Контрпримеры в анализе
|оригинал = Counterexamples in Analysis
|место = М.
|издательство = ЛКИ
|год = 2007
|страницы = 17—18
|страниц = 258
|isbn = 978-5-382-00046-6
}}</ref> и в переводах иностранных книг, а также в некоторых других книгах на русском языке используется следующая [[терминология]]:

: <math>
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x \leqslant b \}
</math> — ''замкнутый интервал'' ({{lang-en|closed interval}}),

: <math>
(a, b) = \{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}
</math> — ''открытый интервал'' ({{lang-en|open interval}}),

: <math>
[a, b) = \{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x < b \}
</math> или <math>
(a, b] = \{x \in \mathbb{R} \colon a < x \leqslant b \}
</math> — ''полуоткрытый (или полузамкнутый) интервал'' ({{lang-en|half-open interval/half-closed interval}}).

То есть в такой терминологии они все называются ''интервалами'', но только разного типа.

В более старой русскоязычной литературе<ref name="Фихтенгольц">{{книга
|автор        = Фихтенгольц, Г. М.
|заглавие     = Основы математического анализа
|издание      = 7-е изд
|место        = М.
|издательство = «ФИЗМАТЛИТ»
|год          = 2002
|том          = 1
|страницы     = 35
|страниц      = 416
|isbn         = 5-9221-0196-X
}}</ref> вместо «интервал» используется слово ''промежуток'': ''замкнутый промежуток'', ''открытый промежуток'', ''полуоткрытый'' (или ''полузамкнутый'') ''промежуток''.

Однако, особенно в учебной литературе, где наибольшее количество теорем для функций на компактных множествах, для замкнутого промежутка предпочтительным считают использовать отдельное название в одно слово — ''сегмент''<ref name=":0" /> (термин «отрезок» имеет скорее геометрический оттенок, как и «промежуток числовой прямой»). В этом случае термин «интервал» закрепляется только за открытым промежутком.

См. также [[Открытое множество|открытые]] и [[Замкнутое множество|замкнутые]] множества.

== Факты ==

=== Теорема о промежуточных значениях ===
{{main|Теорема Больцано — Коши}}
Известная [[теорема Больцано — Коши]] о промежуточных значениях [[Непрерывная функция|непрерывной функции]] гласит: [[Образ (математика)|образ]] любого промежутка при [[Непрерывное отображение|непрерывном отображении]] тоже является промежутком. У этой теоремы есть [[Связное множество#Свойства|обобщение]] на случай произвольных [[Топологическое пространство|топологических пространств]]: образ [[Связное пространство|связного множества]] при непрерывном отображении связен. Числовые промежутки, и притом только они, как раз и являются [[Связное пространство|связными подмножествами]] <math>\mathbb{R}</math>.

=== Операции с промежутками ===
{{main|Интервальная арифметика}}
На практике промежуток нередко характеризует интервал возможных значений ([[Погрешность измерения|приближённо]]) измеренной величины. На множестве таких промежутков можно определить арифметические операции. Тогда результату вычислений над величинами можно сопоставить соответствующие вычисления над их интервалами, задающие в итоге интервал возможных значений для результата.

=== Мера ===
{{main|Мера Лебега}}
Промежутки числовой прямой, а также [[прямоугольник]]и на плоскости, [[Прямоугольный параллелепипед|прямоугольные параллелепипеды]] в пространстве и т. п. являются одним из основных объектов, на которых основывается [[теория меры]], поскольку они являются простейшими множествами, [[Мера множества|меру]] которых ([[Длина|длину]], [[Площадь фигуры|площадь]], [[Объём (геометрия)|объем]] и т. п.) легко определить.

== Обобщения ==

=== Связные множества ===
{{main|Связное пространство|Линейно связное пространство}}
Обобщением промежутка числовой прямой является понятие [[Связное пространство|связного]] [[Топологическое пространство|топологического пространства]]. На числовой прямой всякое связное множество есть промежуток, и обратно, любой промежуток есть связное множество.

Также промежуток числовой прямой лежит в основе другого, более специального понятия [[Линейно связное пространство|линейной связности]]. Во множестве вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>, а также в [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]] <math>\mathbb{R}^n</math> произвольной [[Размерность векторного пространства|размерности]] <math>n</math> понятия связности и линейной связности совпадают.

=== Выпуклые множества ===
{{main|Выпуклое множество}}
Другим обобщением понятия промежутка числовой прямой является понятие [[Выпуклое множество|выпуклого множества]].

=== Промежутки в частично упорядоченных множествах ===
{{main|Частично упорядоченное множество}}
В самом общем случае понятие промежутка можно ввести на любом множестве, на котором введено [[отношение порядка]] <math><</math>.

== См. также ==
* [[Интервальная арифметика]]
* [[Отрезок]]

== Примечания ==
{{примечания}}

{{ВС}}

[[Категория:Математический анализ]]
[[Категория:Элементарная математика]]