Ряд Дайсона

Ряд Дайсона — ряд возмущений в теории рассеяния, каждый из членов которого можно изобразить в виде диаграммы Фейнмана. Ряд носит имя Фримена Дайсона и в целом расходится, однако, уже второй член этого ряда в квантовой электродинамике позволяет получить точность до 10⁻¹⁰ благодаря малости постоянной тонкой структуры.

Построение ряда Дайсона использует понятие временного упорядочения.

Система[править | править код]

Изучается система, описывается гамильтонианом, который является суммой невозмущенной части и возмущения:

{\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}

В представлении взаимодействия оператор эволюции волновой функции ${\hat {U}}(t,t_{0})$ удовлетворяет уравнению Томонаги — Швингера

i\hbar {\frac {{\hat {U}}(t,t_{0})}{dt}}={\hat {V}}(t){\hat {U}}(t,t_{0})

,

где

{\hat {V}}(t)=e^{i/\hbar {\hat {H}}_{0}t}{\hat {V}}e^{-i/\hbar {\hat {H}}_{0}t},

или интегродифференциальному уравнению

{\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {V}}(t_{1}){\hat {U}}(t_{1},t_{0})dt_{1}

Подставляя оператор эволюции из левой части в правую, можно получить бесконечный ряд:

{\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {V}}(t_{1})dt_{1}+{\frac {(-i)^{2}}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\hat {V}}(t_{1}){\hat {V}}(t_{2})dt_{1}dt_{2}+\ldots

Предложение Дайсона[править | править код]

Дайсон предложил расширить интегрирования в каждом интеграле от $t_{0}$ до $t$ , но требовать, чтобы операторы всегда были упорядочены во времени, то есть в произведении ${\hat {V}}(t_{1}){\hat {V}}(t_{2})$ , всегда было $t_{1}>t_{2}$ . Тогда каждый из слагаемых ряда увеличится в $n!$ раз.