Участник:Wera/Песочница

A pizza of radius $z\,\!$ and thickness $a\,\!$ has a volume of $\pi zza\,\!$

$\int _{a}^{b}f(x)dx={\bigg |}_{a}^{b}{F(x)}$

1. Теорема Больцано-Вейерштрасса и критерий Коши для числовой последовательности

Больцано-Вейерштрасс Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Коши $\forall \varepsilon \geq 0\ \exists N(\varepsilon )\ :\ \forall m>N(\varepsilon ),n>N(\varepsilon )\rightarrow |x_{m}-x_{n}|<\varepsilon \,\!$

Необходимость: прибавить-вычесть внутри скобки Достаточность: выделяем сход. подпосл., для нее выполняется определение, берем $|x_{n_{k}}-x_{n}|<\varepsilon /2$, прибавим-вычтем предел, сложим два эпсилон-пополама

2. Два определения предела функции одной переменной и их эквивалентность.

$\lim _{x\rightarrow a}{f(x)}=b$

Гейне

$\forall \{x_{n}\}\rightarrow a\ \rightarrow \ \{f(x_{n})\}\rightarrow b\,\!$

Коши

$\forall \varepsilon \geq 0\ \exists \delta (\varepsilon )\ :\ |x-a|<\delta \ \rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon \,\!$

3. Свойства функций одного переменного, непрерывных на отрезке: ограниченность, достижимость точных граней. Теорема о промежуточных значениях.

Теорема 1: непрерывная на (a,b) f(x) ограничена на (a,b).

Д-во: пусть неограничена... Но для непрерывной $\exists \lim _{x\to b}f(x)=a\neq \infty$

Теорема 2: непрерывная на (a,b) f(x) достигает точных верхней и нижней граней.

Д-во: надо взять {x_n}: f(x_n) сходится к М (м), тогда по непрерывности существует x: f(x) = M (m)

Теорема 3: непрерывная на (a,b) f(x) пробегает все промежуточные значения

Д-во: Лемма о нуле для функции, имеющей на концах разные знаки, затем ее применение

4. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций: Ролля, Лагранжа и Коши.

Ролля: равные значения на концах => существует точка х, где f`(x) = 0

Лагранжа: существует x: f(b) - f(a) = f`(x)*(b - a)

Коши: Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \exists х: { f(b) - f(a) \over g(b) - g(a) } = { f'(x) \over g'(x) } }

23. Ряд Фурье по ортогональной системе.

Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, сходимость ряда Фурье по норме <img xmlns:extensions="xalan://ru.arptek.common.StringUtils" align="middle" alt="L_2" hspace="0" src="http://math.arptek.ru/eq.html?eq=L_2" vspace="0"> (то есть в смысле среднего квадратичного).

Задачи (джентльменский набор формул)

Таблица производных и интегралов

C - произвольная константа

f(x)	g(x) = f'(x)	s(x) = Sf(x)dx
$x^{n}\,\!$	$nx^{n-1}\,\!$	${x^{n+1} \over n+1}+C\,\!$
$a^{x}\,\!$	$(\ln {a})a^{x}\,\!$	${a^{x} \over \ln a}+C\,\!$
$\log _{a}x\,\!$	$1 \over x\ln a\,\!$	${x(\ln x-1) \over \ln a}+C\,\!$
$\sin x\,\!$	$\cos x\,\!$	$-\cos x+C\,\!$
$\cos x\,\!$	$-\sin x\,\!$	$\sin x+c\,\!$
$tgx\,\!$	$1 \over \cos ^{2}x\,\!$	$-\ln \cos x+C\,\!$
$ctgx\,\!$	$-{1 \over \sin ^{2}x}\,\!$	$\ln \sin x+C\,\!$
$shx\,\!$	$chx\,\!$	$chx\,\!$
$chx\,\!$	$shx\,\!$	$shx\,\!$
$thx\,\!$	$1 \over ch^{2}x\,\!$	$\ln chx+C\,\!$
$cthx\,\!$	$-{1 \over sh^{2}x}\,\!$	$\,\!$
$\arcsin x\,\!$	$1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}\,\!$	$x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}\,\!$
$\arccos x\,\!$	$-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}\,\!$	$-x\arccos x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C\,\!$
$arctgx\,\!$	$1 \over {1+x^{2}}\,\!$	$\,\!$
$arcctgx\,\!$	$-{1 \over 1+x^{2}}\,\!$	$x\operatorname {arcctg} x-\ln {1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}+c\,\!$
$e^{-x^{2}}\,\!$	$-2xe^{-x^{2}}\,\!$	Интеграл Пуассона
$\sin x^{2},\,\!$	$2x\cos x^{2}\,\!$	Синус Френеля
$\cos x^{2}\,\!$	$-2x\sin x^{2}\,\!$	Косинус Френеля
$1 \over \ln x\,\!$	$\,\!$	Интегральный логарифм
$\sin x \over x\,\!$	$\,\!$	Интегральный синус
$\cos x \over x\,\!$	$\,\!$	Интегральный косинус
Фред#########################################
$\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}$	${1 \over {a{(1+x^{2})}}}\,\!$	$\,\!$
$1 \over {\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}\,\!$	$\,\!$	$\ln |x+{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}|+C;a\neq 0\,\!$
${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,\!$	$\,\!$	${x \over 2}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+{a^{2} \over 2}arcsin{x \over a}+C;a>0\,\!$
${\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}\,\!$	$\,\!$	${x \over 2}{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}\pm {a^{2} \over 2}\ln |x+{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}|+C;a\neq 0\,\!$

Правила дифференцирования

$f_{1}(x)+f_{2}(x)\,\!$	$f'_{1}(x)+f'_{2}(x)\,\!$
$f(x)g(x)\,\!$	$f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\,\!$
$(f(x)g(x))^{(n)}\,\!$	$\sum _{0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}}\,\!$
$f(x) \over g(x)\,\!$	$f'(x)g(x)-g'(x)f(x) \over g^{2}(x)\,\!$
$f(g(x))\,\!$	$g'(x)f'(g(x))\,\!$
$f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}\,\!$	$\left(g'(x)\ln f(x)+{f'(x)g(x) \over f(x)}\right)f(x)^{g(x)}\,\!$
$y(x):y(t);x(t)\,\!$	$y'(t) \over x'(t)\,\!$
$y(x):y(t);x(t)\,\!$ вторая производная	$y''(t)x'(t)-x''(t)y'(t) \over (x'(t))^{2}\,\!$
$F(x,y(x))=0\,\!$ в точке $(x_{0},y_{0})\,\!$	$F'(x,y'(x))\,\!$ затем подставляем в результат точку и решаем уравнение относительно y'
производная по направлению	градиент

Методы интегрирования

1. Метод Остроградского: "разаливаем" дробь на дроби попроще

2. Подстановка tg(x/2) для некоторых тригонометрических

3. Интегралы вида $\int {dx \over a\sin x+b\cos x}\,\!$: выести в знаменателе за скобку корень из суммы квадратов коэффициентов, свернуть сумму в синус суммы, ввести замену типа как в номере 2

3. Интегрирование по частям: "запихнуть" часть под дифференциал: $\int udv=uv-\int vdu\,\!$

Пределы

Первый замечательный

$\lim _{x\rightarrow 0}{\sin x \over x}=1\,\!$

Второй замечательный

$\lim _{x\rightarrow 0}\left(x+{1 \over x}\right)^{1 \over x}=e\,\!$

Формула Тейлора бесконечно дифф. функции f(x) в окрестности точки a. Окрестность определяется радиусом сходимости ряда.

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{f^{(n)}(a)(x-a)^{n} \over n!}\,\!$

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}\,\!$

$shx=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{2n+1} \over (2n+1)!}\,\!$

$chx=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{2n} \over (2n)!}\,\!$

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}{x^{2n+1} \over (2n+1)!}}\,\!$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}{x^{2n} \over (2n)!}}\,\!$

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over (n)!}\alpha (\alpha -1)...(\alpha -n+1)\,\!$

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1}{x^{n} \over n}}\,\!$

Свойства функций

Непрерывность

Равномерная непрерывность

Экстремумы

На множестве дважды дифференцируемости: ${\begin{matrix}f'(x)=0\\f''(x)>0\ \rightarrow \ min\\f''(x)<0\ \rightarrow \ max\end{matrix}}\,\!$

В остальных случаях смотрим области определения, возрастания, убывания

Перегибы

${\begin{matrix}f''(x)=0\\f'''(x)!=0\end{matrix}}$

Асимптоты

Определение

$\lim _{x\rightarrow \infty }(f(x)-kx-b)=0\,\!$

Вычисление

$\lim _{x\rightarrow \infty }{f(x) \over x}=k\,\!$

$\lim _{x\rightarrow \infty }(f(x)-kx)=b\,\!$

Сходимости

Последовательности

1. Теорема Больцано-Вейерштрасса

2. Неубывающая (невозрастающая), ограниченная сверху (снизу) последовательность сходится

3. Критерий Коши

4. Теорема о двух милиционерах и посленовогоднем прохожем.

5. Сумма, произведение сходящихся последовательностей

Ряды

1. Интегральный: если интеграл от функции сходился, то и ряд от последовательности ее значений сходится

2. Д'Аламбера:

${a_{n+1} \over a_{n}}\leq q;q\in (0,1)\,\!$

3. Коши

${\sqrt[{n}]{a_{n}}}\leq q;q\in (0,1)\,\!$

4. Лейбница

Если модули элементов знакочередующегося ряда монотонно стремятся к нулю, то сходится

Пусть теперь ряд представим в виде:

$\sum a_{n}b_{n}\,\!$

5. Дирихле

Последовательность частичных сумм ряда

$\sum a_{n}\,\!$ ограничена

$b_{n}\,\!$ монотонно стремится к нулю

6. Абеля

$\sum a_{n}\,\!$ сходится

$b_{n}\,\!$ монотонна и ограничена

Функции многих переменных

Градиент

l - направление

${\begin{matrix}l=(\cos \alpha ;\cos \beta ;\cos \gamma );\quad \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1\\gradf(x)=\left({df \over dx};{df \over dy};{df \over dz}\right)\\{df \over dl}=(gradf,l)\end{matrix}}\,\!$

Анал

Прямая

на плоскости

Ax + By + C = 0

Прямая проходит через точку r₀ с направляющим вектором a=(m;n)

${\begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}\\m&n\end{vmatrix}}=0$

в пространстве

Прямая проходит через точку r₀ перпендикулярно вектору n

$(r-r_{0},{\vec {n}})=0\,\!$

Прямая проходит через точку r₀ параллельно вектору p (с направляющим вектором p)

$r=r_{0}+{\vec {p}}t\,\!$

Прямая задана пересечением двух плоскостей:

$\left\{{\begin{matrix}A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0\\A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0\end{matrix}}\right.$

Начальная точка - частное решение системы уравнений.

Направлющий вектор (знак второй члена!):

$m={\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}},\quad n={\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}},\quad k={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}\quad$

Каноническое уравнение:

${x-x_{0} \over m}={y-y_{0} \over n}={z-z_{0} \over k}\,\!$

Параметрическое уравнение:

$\left\{{\begin{matrix}x=x_{0}+tm\\y=y_{0}+tn\\z=z_{0}+tk\end{matrix}}\right.\,\!$

Плоскость

Плоскость проходит через точку r₀ перпендикулярно вектору n

$(r-r_{0},{\vec {n}})=0\,\!$

Ax + By + C = 0

$r=r_{0}+t_{1}{\vec {p}}+t_{2}{\vec {q}}\,\!$

${\begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\\m_{1}&n_{1}&k_{1}\\m_{2}&n_{2}&k_{2}\end{vmatrix}}=0$

Векторное произведение

$[a,b]={\begin{vmatrix}e_{1}&e_{2}&e_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}$

Расстояния

Между точками:

'Модуль вектора разности координат'

От точки r₁ до прямой:

$|[{\vec {p}},r_{1}-r_{0}]| \over |{\vec {p}}|\,\!$

От точки до плоскости:

Между прямыми:

$|(r_{01}-r_{02},p_{1},p_{2})| \over |[{\vec {p}}_{1},{\vec {p}}_{2}]|\,\!$

Между плоскостями:

$|{\vec {r_{01}-r_{02}}}|*cos({\vec {r_{01}-r_{02}}},{\vec {(}}{A_{1},B_{1},C_{1}}))\,\!$

Между прямой и плоскостью:

Углы

Между прямыми:

$\cos \phi ={({\vec {n_{1}}},{\vec {n_{2}}}) \over |{\vec {n_{1}}}|*|{\vec {n_{2}}}|}\,\!$

Между прямой и плоскостью:

$n_{2}=(A,B,C)\,\!$

Между плоскостями:

Кривые второго порядка на плоскости

Эллипс

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,\!$

Фокус расположен в точке c.

Эксцентриситет: $\varepsilon ={c \over a}\,\!$

Директрисы: $x=\pm {a \over \varepsilon }\,\!$

Гипербола

${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,\!$

Парабола

$y^{2}=2px\,\!$