Совершенный кубоид: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Нет описания правки |
Mercury (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Совершенный кубоид'''<ref>{{MathWorld |urlname=PerfectCuboid |title=Perfect Cuboid}}</ref> (или '''целочисленный кирпич''') |
'''Совершенный кубоид'''<ref>{{MathWorld |urlname=PerfectCuboid |title=Perfect Cuboid}}</ref> (или '''целочисленный кирпич''') — [[прямоугольный параллелепипед]], у которого все семь основных величин (три ребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) являются целыми числами. Иначе говоря, совершенный кубоид — целочисленное решение системы [[диофантовы уравнения|диофантовых уравнений]] |
||
: <math>a^2 + b^2 = d^2\,</math> |
: <math>a^2 + b^2 = d^2\,</math> |
||
Строка 6: | Строка 6: | ||
: <math>a^2 + b^2 + c^2 = g^2\,</math> |
: <math>a^2 + b^2 + c^2 = g^2\,</math> |
||
До сих пор неизвестно, существует ли такой параллелепипед. Компьютерный перебор не нашёл ни одного целочисленного кирпича с рёбрами до 3·10<sup>12</sup>.<ref>Bill Butler, [http://www.durangobill.com/IntegerBrick.html The |
До сих пор неизвестно, существует ли такой параллелепипед. Компьютерный перебор не нашёл ни одного целочисленного кирпича с рёбрами до 3·10<sup>12</sup>.<ref>Bill Butler, [http://www.durangobill.com/IntegerBrick.html The «Integer Brick» Problem]</ref> Впрочем, найдено несколько «почти целочисленных» параллелепипедов, у которых целочисленными являются все величины, кроме одной: |
||
* <math>(672, 153, 104)\,</math> |
* <math>(672, 153, 104)\,</math> — одна из лицевых диагоналей нецелая. |
||
* <math>(18720, \sqrt{211773121}, 7800)</math>, <math>(520, 576, \sqrt{618849})</math> |
* <math>(18720, \sqrt{211773121}, 7800)</math>, <math>(520, 576, \sqrt{618849})</math> — одно из рёбер нецелое. |
||
* Большое количество эйлеровых параллелепипедов (с нецелой пространственной диагональю, см. ниже). |
* Большое количество эйлеровых параллелепипедов (с нецелой пространственной диагональю, см. ниже). |
||
* Косоугольные параллелепипеды, у которых все линейные размеры целые. При этом достаточно одного непрямого угла<ref>J. F. Sawyer, C. A. Reiter, ''[http://www.ams.org/journals/mcom/2011-80-274/S0025-5718-2010-02400-7/ Perfect parallelepipeds exist]'', Math. Comp. '''80'''(2011), No. 274, P. |
* Косоугольные параллелепипеды, у которых все линейные размеры целые. При этом достаточно одного непрямого угла<ref>J. F. Sawyer, C. A. Reiter, ''[http://www.ams.org/journals/mcom/2011-80-274/S0025-5718-2010-02400-7/ Perfect parallelepipeds exist]'', Math. Comp. '''80'''(2011), No. 274, P. 1037—1040</ref><ref>B. D. Sokolowsky, A. G. VanHooft, R. M. Volkert, C. A. Reiter, ''[http://www.ams.org/journals/mcom/2014-83-289/S0025-5718-2013-02791-3/ An infinite family of perfect parallelepipeds]'', Math. Comp. '''83'''(2014), No. 289, P. 2441—2454</ref><ref>W. Wyss, ''On Perfect Cuboids'', [http://arxiv.org/abs/1506.02215v2 arXiv:1506.02215v2] [math.NT] 27 Jun 2015</ref>. |
||
В [[2005 год]]у [[Тбилиси|тбилисский]] школьник Лаша Маргишвили предложил доказательство, что целочисленного кубоида не существует |
В [[2005 год]]у [[Тбилиси|тбилисский]] школьник Лаша Маргишвили предложил доказательство, что целочисленного кубоида не существует — однако на [[2012 год]] работа так и не прошла проверку независимыми учёными<ref>Lasha Margishvili ''«The Diophantine Rectangular Parallelepiped (A Perfect Cuboid)»'': [http://groups.google.com/group/sci.math/msg/f8035dd5d558201a part 1], [http://groups.google.com/group/sci.math/msg/8828c636b651fb76 part 2]</ref><ref>[http://web.archive.org/web/20061126183733/http://www.mualphatheta.org/Science_Fair/Science_Fair_Winners.html Mu Alpha Theta]</ref>. В 2012 году учитель Лаши Маргишвили, директор Грузинско-Американского лицея Мамука Месхешвили опубликовал статью<ref>M. Meskhishvili, ''Perfect Cuboid and Congruent Number Equation Solutions'', [http://arxiv.org/abs/1211.6548v1 arXiv:1211.6548v1] [math.NT] 28 Nov 2012</ref> , в которой называет гипотезу о несуществовании совершенных кубоидов недоказанной. |
||
'''Рациональный кубоид''' |
'''Рациональный кубоид''' — это почти то же самое, что и совершенный кубоид, только рёбра, диагонали на гранях и пространственная диагональ у него не целые, а рациональные числа. Рациональный кубоид легко превращается в целочисленный путем умножения всех его линейных размеров на одно и то же целое число, поэтому нахождение рационального кубоида равносильно нахождению целочисленного кубоида. |
||
== Эйлеров параллелепипед == |
== Эйлеров параллелепипед == |
||
Прямоугольный параллелепипед, у которого целочисленные только рёбра и лицевые диагонали, называется эйлеровым. Самый маленький из эйлеровых параллелепипедов |
Прямоугольный параллелепипед, у которого целочисленные только рёбра и лицевые диагонали, называется эйлеровым. Самый маленький из эйлеровых параллелепипедов — (240, 117, 44), с лицевыми диагоналями 267, 244 и 125. Ещё несколько эйлеровых параллелепипедов: |
||
* (275, 252, 240), |
* (275, 252, 240), |
||
Строка 28: | Строка 28: | ||
Известны такие требования к эйлеровому параллелепипеду (а значит, и к целочисленному кирпичу)<ref name="f2">[http://f2.org/maths/peb.html Primitive Euler Bricks<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref>: |
Известны такие требования к эйлеровому параллелепипеду (а значит, и к целочисленному кирпичу)<ref name="f2">[http://f2.org/maths/peb.html Primitive Euler Bricks<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref>: |
||
* Одно ребро делится на 4, второе делится на 16, третье нечётное (если, конечно, он примитивный |
* Одно ребро делится на 4, второе делится на 16, третье нечётное (если, конечно, он примитивный — то есть, [[Наибольший общий делитель|НОД]](a, b, c)=1). |
||
* Одно ребро делится на 3 и ещё одно |
* Одно ребро делится на 3 и ещё одно — на 9. |
||
* Одно ребро делится на 5. |
* Одно ребро делится на 5. |
||
* Одно ребро делится на 11. |
* Одно ребро делится на 11. |
Версия от 22:26, 29 октября 2015
Совершенный кубоид[1] (или целочисленный кирпич) — прямоугольный параллелепипед, у которого все семь основных величин (три ребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) являются целыми числами. Иначе говоря, совершенный кубоид — целочисленное решение системы диофантовых уравнений
До сих пор неизвестно, существует ли такой параллелепипед. Компьютерный перебор не нашёл ни одного целочисленного кирпича с рёбрами до 3·1012.[2] Впрочем, найдено несколько «почти целочисленных» параллелепипедов, у которых целочисленными являются все величины, кроме одной:
- — одна из лицевых диагоналей нецелая.
- , — одно из рёбер нецелое.
- Большое количество эйлеровых параллелепипедов (с нецелой пространственной диагональю, см. ниже).
- Косоугольные параллелепипеды, у которых все линейные размеры целые. При этом достаточно одного непрямого угла[3][4][5].
В 2005 году тбилисский школьник Лаша Маргишвили предложил доказательство, что целочисленного кубоида не существует — однако на 2012 год работа так и не прошла проверку независимыми учёными[6][7]. В 2012 году учитель Лаши Маргишвили, директор Грузинско-Американского лицея Мамука Месхешвили опубликовал статью[8] , в которой называет гипотезу о несуществовании совершенных кубоидов недоказанной.
Рациональный кубоид — это почти то же самое, что и совершенный кубоид, только рёбра, диагонали на гранях и пространственная диагональ у него не целые, а рациональные числа. Рациональный кубоид легко превращается в целочисленный путем умножения всех его линейных размеров на одно и то же целое число, поэтому нахождение рационального кубоида равносильно нахождению целочисленного кубоида.
Эйлеров параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед, у которого целочисленные только рёбра и лицевые диагонали, называется эйлеровым. Самый маленький из эйлеровых параллелепипедов — (240, 117, 44), с лицевыми диагоналями 267, 244 и 125. Ещё несколько эйлеровых параллелепипедов:
- (275, 252, 240),
- (693, 480, 140),
- (720, 132, 85),
- (792, 231, 160).
Эйлер описал два семейства эйлеровых параллелепипедов (отсюда название). Впрочем, полного описания всех эйлеровых параллелепипедов также нет.
Известны такие требования к эйлеровому параллелепипеду (а значит, и к целочисленному кирпичу)[9]:
- Одно ребро делится на 4, второе делится на 16, третье нечётное (если, конечно, он примитивный — то есть, НОД(a, b, c)=1).
- Одно ребро делится на 3 и ещё одно — на 9.
- Одно ребро делится на 5.
- Одно ребро делится на 11.
См. также
Примечания
- ↑ Weisstein, Eric W. Perfect Cuboid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Bill Butler, The «Integer Brick» Problem
- ↑ J. F. Sawyer, C. A. Reiter, Perfect parallelepipeds exist, Math. Comp. 80(2011), No. 274, P. 1037—1040
- ↑ B. D. Sokolowsky, A. G. VanHooft, R. M. Volkert, C. A. Reiter, An infinite family of perfect parallelepipeds, Math. Comp. 83(2014), No. 289, P. 2441—2454
- ↑ W. Wyss, On Perfect Cuboids, arXiv:1506.02215v2 [math.NT] 27 Jun 2015
- ↑ Lasha Margishvili «The Diophantine Rectangular Parallelepiped (A Perfect Cuboid)»: part 1, part 2
- ↑ Mu Alpha Theta
- ↑ M. Meskhishvili, Perfect Cuboid and Congruent Number Equation Solutions, arXiv:1211.6548v1 [math.NT] 28 Nov 2012
- ↑ Primitive Euler Bricks