Просмотр кода страницы Составное число

[[File:Primencomposite0100.svg|thumb|Натуральные числа от нуля до ста. Составные числа отмечены зелёным.]]
'''Составно́е число́''' — [[натуральное число]], имеющее [[Делимость|делители]], отличные от единицы и самого себя. Каждое составное число является произведением двух или более натуральных чисел, бо́льших единицы{{sfn |БРЭ|2004—2017}}. Все натуральные числа делятся на три непересекающиеся категории: [[Простое число|простые]], составные и единица{{sfn |Элементарная математика|1976|с=20—21}}.

Начало последовательности составных чисел ({{OEIS short|A002808}}):
: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, ...

== Связанные понятия ==
Каждое натуральное число, большее единицы, имеет по крайней мере два делителя, которые называются ''тривиальными'': единицу и самого себя. Число является составным, если оно имеет нетривиальные делители.

Составное натуральное число называется:
* [[Полупростое число|полупростым]], если его можно представить в виде произведения двух простых чисел (не обязательно различных);
* [[Сфеническое число|сфеническим]], если его можно представить в виде произведения трёх различных простых чисел;
* [[Полнократное число|полнократным]], если его можно представить в виде произведения <math>a^2b^3,</math> где <math>a,b</math> — натуральные числа. Равносильное определение: число <math>N</math> полнократно, если для любого его простого делителя <math>p</math> число <math>p^2</math> также является делителем <math>N</math>;
* [[Сверхсоставное число|сверхсоставным]], если у него больше делителей, чем у любого меньшего числа (два первых сверхсоставных числа не являются составными, это 1 и 2).

== Свойства ==
[[Основная теорема арифметики]] утверждает, что любое составное число может быть разложено в произведение [[Простой множитель|простых множителей]], причём единственным способом (с точностью до порядка множителей).

Покажем, что в [[Натуральное число|натуральном ряду]] можно найти последовательности подряд идущих составных чисел любой длины. Пусть n — произвольное натуральное число. Обозначим:
: <math>N=(n+1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \dots \cdot (n+1).</math>
Тогда n последовательных чисел <math>N+2, N+3, N+4 \dots N+(n+1)</math> содержит только составные числа: <math>N+2</math> делится на 2, <math>N+3</math> делится на 3 {{итд}}

== Разложение числа на множители ==
Чтобы определить, является ли заданное натуральное число <math>N</math> простым или составным, надо найти его нетривиальные делители или доказать, что таких не существует. В случае небольшого <math>N</math> поиск его делителей — несложная задача, для этого можно использовать [[признаки делимости]]{{sfn |Элементарная математика|1976|с=21—22}} или специальные алгоритмы, указанные в статьях [[Тест простоты]] и [[Факторизация целых чисел]]. Нахождение делителей больших чисел (актуальная задача [[Криптография|криптографии]]) может оказаться проблемой, превышающей возможности современных компьютеров.

== Вариации и обобщения ==
Понятия простого и составного числа можно определить не только для натуральных чисел, но и для других алгебраических структур; чаще всего рассматриваются [[Коммутативное кольцо|коммутативные кольца]] без [[Делитель нуля|делителей нуля]] ([[Область целостности|области целостности]]).

'''Пример 1.''' Кольцо  [[Целое число|целых чисел]] содержит два [[Обратимый элемент|делителя единицы]] (обратимых элемента): <math>+1</math> и <math>-1.</math> Поэтому все целые числа, за исключением делителей единицы, имеют не два, а по меньшей мере четыре ''тривиальных'' делителя; например, у числа 7 делителями являются <math>1; 7; -1; -7.</math> В связи с этим формулировку [[Основная теорема арифметики|основной теорему арифметики]] необходимо скорректировать: любое составное число может быть разложено в произведение [[Простой множитель|простых множителей]], причём единственным способом, с точностью до порядка множителей и делителей единицы.

Простые целые числа, как и прежде  — это те, у которых нет нетривиальных делителей. Таким образом, кольцо целых чисел делится на три непересекающиеся части: простые, составные и делители единицы.

'''Пример 2'''. Кольцо [[Гауссовы целые числа|гауссовых целых чисел]] образовано [[Комплексное число|комплексными числами]] <math>a+bi,</math> у которых <math>a,b</math> — обычные целые числа. Для чисел такого вида можно определить [[Делимость|деление нацело]] по общим правилам. Делителей единицы здесь четыре: <math>1; -1; i; -i.</math> 

Простые гауссовы числа — это часть обычных простых чисел и «простые гауссовы» (например, <math>1+i</math>). См. [[Гауссовы целые числа#Критерий Гаусса|критерий простоты гауссова числа]]. Простое натуральное число может не быть простым гауссовым; например, число 5 как гауссово число является составным: <math>5 = (2+i)(2-i).</math> Основная теорема арифметики формулируется точно так же, как указано выше для целых чисел<ref>{{книга |автор=Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К. |место=М. |ref=Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К. |заглавие=Алгебра и арифметика комплексных чисел. Пособие для учителей |издательство=Учпедгиз |год=1939 |страницы=147—149 |страниц=187}}</ref>.

'''Пример 3'''. [[Кольцо многочленов]] <math>R[x]</math> образовано [[многочлен]]ами с [[Вещественное число|вещественными]] коэффициентами. Делителями единицы являются здесь ненулевые числовые константы (рассматриваемые как многочлены нулевой степени). Аналогами простых чисел здесь будут все неразложимые ([[Неприводимый элемент|неприводимые]]) многочлены, то есть многочлены 1-й степени и те многочлены 2-й степени, у которых нет вещественных корней (потому что их [[дискриминант]] отрицателен). Следовательно, аналогом составных чисел выступают все многочлены степени больше второй, а также многочлены второй степени с неотрицательным дискриминантом. И здесь основная теорема арифметики имеет место и формулируется точно так же, как указано выше для целых чисел<ref>{{книга |автор=Винберг Э. Б. |заглавие=Алгебра многочленов |место=М. |издательство=Просвещение |год=1980 |страниц=176 |страницы=122—124, 67—68}}</ref>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Зайцев В. В., Рыжков В. В., [[Сканави, Марк Иванович|Сканави М. И.]]
  |заглавие=Элементарная математика. Повторительный курс |издание=Издание третье, стереотипное
  |издательство=Наука |место=М. |год=1976 |страниц=591 |ref=Элементарная математика}}
* {{БРЭ |статья=Составное число |автор= |год=2004—2017 |ref=БРЭ|ссылка=https://old.bigenc.ru/mathematics/text/3638158 |архив= |архив дата=}}

== Ссылки ==
* [https://web.archive.org/web/20150810185800/http://www.primenumb.ru/%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%B1%D0%B4/ Списки простых и факторизованных составных чисел]
{{Числа по характеристикам делимости}}

[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Делимость и остатки]]