Просмотр кода страницы Теория Янга — Миллса с четырьмя суперсимметриями

{{Теория струн}}
'''Теория Янга — Миллса с четырьмя суперсимметриями''' (также ''N = 4 суперсимметричная теория Янга — Миллса'') — математическая и [[физическая модель]], созданная для изучения частиц с помощью простой системы, подобной [[Теория струн|теории струн]], с конформной симметрией. Это упрощённая [[игрушечная теория]], основанная на [[Теория Янга — Миллса|теории Янга — Миллса]], которая не описывает реальный мир, но полезна, поскольку она может служить испытательным полигоном для подходов к решению проблем в более сложных теориях<ref>{{Cite web|url=https://arstechnica.com/science/2013/05/earning-a-phd-by-studying-a-theory-that-we-know-is-wrong/|title=Earning a PhD by studying a theory that we know is wrong|author=Matt von Hippel|date=2013-05-21|publisher=[[Ars Technica]]|access-date=2020-01-06|archive-date=2021-01-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20210128105454/https://arstechnica.com/science/2013/05/earning-a-phd-by-studying-a-theory-that-we-know-is-wrong/|deadlink=no}}</ref>. Она описывает вселенную, содержащую [[Бозонное поле|бозонные поля]] и [[Фермионное поле|фермионные поля]], связанные 4 [[суперсимметрия]]ми (это означает, что обмен бозонными, фермионными и скалярными полями определённым образом оставляет предсказания теории инвариантными). Это одна из самых простых (потому что она не имеет свободных параметров, кроме калибровочной группы) и одна из немногих конечных квантовых теорий поля в четырёх измерениях. Её можно считать самой симметричной теорией поля, которая не связана с гравитацией.

== Лагранжиан ==
[[Лагранжиан]] для теории<ref>{{Cite web|url=http://www-hep.physics.uiowa.edu/~vincent/courses/29276/Presentations/Luke%20Wassink.pdf|title=''N''&nbsp;=&nbsp;4 Super Yang–Mills theory|author=Luke Wassink|accessdate=2013-05-22|archiveurl=https://web.archive.org/web/20140531090415/http://www-hep.physics.uiowa.edu/~vincent/courses/29276/Presentations/Luke%20Wassink.pdf|archivedate=2014-05-31}}</ref>

: <math>L = \operatorname{tr} \left\{-\frac{1}{2g^2}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{\theta_I}{8\pi^2}F_{\mu\nu}\bar{F}^{\mu\nu}- i \overline{\lambda}^a\overline{\sigma}^\mu D_\mu \lambda_a -D_\mu X^i D^\mu X^i
+g C^{ab}_i \lambda_a[X^i,\lambda_b] + g \overline{C}_{iab}\overline{\lambda}^a[X^i,\overline{\lambda}^b]+\frac{g^2}{2}[X^i,X^j]^2 \right\},
</math>

где <math>
F^k_{\mu\nu} = \partial_\mu A^k_\nu-\partial_\nu A^k_\mu+f^{klm}A^l_\mu A^m_\nu
</math> и индексы ''i'', ''j'' = 1, …, 6, а также ''a'', ''b'' = 1, …, 4. <math>f</math> представляет структурные константы определённой калибровочной группы. <math>C_i^{ab}</math> представляет структурные константы группы R-симметрии SU(4), которая вращает 4 суперсимметрии. Как следствие [[Теоремы о неперенормировке|теорем о неперенормировке]], эта суперсимметричная теория поля фактически является суперконформной теорией поля .

== Десятимерный лагранжиан ==
Вышеуказанный лагранжиан можно найти, начав с более простого десятимерного лагранжиана

: <math>
L = \operatorname{tr} \left\{ \frac{1}{g^2} F_{IJ} F^{IJ} - i \bar{\lambda} \Gamma^I D_I \lambda \right\},
</math>

где I и J пробегают значения от 0 до 9 и <math>\Gamma^I</math> являются 32 на 32 гамма-матрицами <math>( 32=2^{10/2} )</math> с последующим добавлением члена с <math>\theta_I</math> который является [[Класс Чженя|топологическим членом]].

Компоненты <math>A_i</math> калибровочного поля для ''i'' от 4 до 9 становятся скалярами после устранения лишних измерений. Это также даёт интерпретацию SO(6) R-симметрии как поворотов в сверхкомпактных измерениях.

Путём компактификации на ''Т''<sup>6</sup> все [[суперзаряд]]ы сохраняются, давая ''N'' = 4 в 4-мерной теории.

Интерпретация теории струн типа IIB — это мировая теория стека [[D-брана|D3-бран]].

== S-дуальность ==
Константы связи <math>\theta_I</math> и <math>g</math> естественно спариваются в форме:

: <math> \tau = \frac{\theta}{2\pi}+\frac{4\pi i}{g^2}.</math>

Теория имеет симметрию, которая сдвигает <math>\tau</math> по целым числам. [[Дуальность Монтонена — Олива|Гипотеза S-дуальности]] говорит, что есть также симметрия, которая посылает :<math> \tau \mapsto \frac{-1}{n_G\tau}</math> а также переключает группу <math>G</math> к её [[Двойственная группа Ленглендса|двойственной группе Ленглендса]] .

== AdS/CFT-соответствие ==
Эта теория важна и в контексте [[Голографический принцип|голографического принципа]]. Существует двойственность между теорией струн типа IIB в пространстве AdS<sub>5</sub> × '''S'''<sup>5</sup> (произведение 5-мерного пространства AdS с 5-мерной [[Гиперсфера|сферой]]) и ''N'' = 4 суперсимметричной теорией Янга — Миллса на 4-мерной границе AdS<sub>5</sub>. Однако эта конкретная реализация AdS/CFT-соответствия не является реалистичной моделью гравитации, поскольку гравитация в нашей вселенной является 4-мерной. Несмотря на это, AdS/CFT-соответствие является наиболее успешной реализацией голографического принципа, спекулятивной идеи о [[Квантовая гравитация|квантовой гравитации,]] первоначально предложенной [[’т Хоофт, Герард|Герардом 'т Хоофтом]], которая расширяла работу по термодинамике чёрных дыр, и была улучшена и продвинута в контексте теории струн [[Сасскинд, Леонард|Леонардом Сасскиндом]] .

== Интегрируемость ==
Существует доказательство того, что ''N'' = 4 суперсимметричная теория Янга — Миллса имеет интегрируемую структуру в плоском [[Предел больших N|пределе больших ''N'']]<ref>Martin Ammon, Johanna Erdmenger, ''Gauge/Gravity Duality: Foundations and Applications'', Cambridge University Press, 2015, p. 240.</ref>. Поскольку количество цветов (также обозначаемое ''N'') становится бесконечным, амплитуды масштабируются как <math>N^{2-2g}</math>, так что выживает только вклад [[Планарный граф|рода 0 (планарный граф)]]. '''Планарная теория Янга — Миллса''' — это теория с очень большим (бесконечным) количеством цветов.

'''Планарный предел''' — это предел, в котором амплитуды рассеяния преобладают на [[Диаграммы Фейнмана|диаграммах Фейнмана,]] которым можно придать структуру планарных графов<ref>{{Cite web |url=https://ncatlab.org/nlab/show/planar+limit |title=planar limit in nLab |access-date=2020-01-06 |archive-date=2020-10-01 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201001022324/https://ncatlab.org/nlab/show/planar+limit |deadlink=no }}</ref>.

Beisert и соавт. дали обзорную статью, демонстрирующую, как в этой ситуации локальные операторы могут быть выражены через определённые состояния в «спиновых» цепочках, но на основе больших супералгебр Ли, а не SU(2) для обычного спина. Они поддаются техникам [[Подстановка Бете|подстановки Бете]]. Они также строят действие ассоциированного [[янгиан]]а на [[Амплитуда рассеяния|амплитуды рассеяния]]<ref name="Beisert">{{статья |заглавие=Review of AdS/CFT Integrability: An Overview |издание={{Нп3|Letters in Mathematical Physics}} |том=99 |страницы=425 |arxiv= 1012.4000 |bibcode= 2012LMaPh..99..425K |doi= 10.1007/s11005-011-0516-7 |ref=Beisert |язык=en |автор=Beisert, Niklas |месяц=1 |год=2012 |тип=journal}}</ref>.

[[Аркани-Хамед, Нима|Нима Аркани-Хамед]] и соавт. также исследовали эту тему. Используя [[Твистор|теорию твисторов]], они находят описание (формализм [[амплитуэдр]]а) в терминах позитивного [[грассманиан]]а<ref name="Arkani-Hamed2012">{{cite arXiv|eprint=1212.5605|author1=Nima Arkani-Hamed|last2=Bourjaily|first2=Jacob L.|author3=Freddy Cachazo|last4=Goncharov|first4=Alexander B.|author5=Alexander Postnikov|author6=Jaroslav Trnka|title=Scattering Amplitudes and the Positive Grassmannian|class=hep-th|year=2012}}</ref>.

== Отношение к 11-мерной М-теории ==
N = 4 суперсимметричная теория Янга — Миллса может быть получена из более простой 10-мерной теории, и всё же супергравитация и [[М-теория]] существуют в 11 измерениях. Связь заключается в том, что если калибровочная группа U(''N'') SYM становится бесконечной как <math>N\rightarrow \infty</math>, она становится эквивалентной 11-мерной теории, известной как матричная теория.

== См. также ==
* {{Не переведено 5|6D (2,0) суперконформная теория поля|||6D (2,0) superconformal field theory}}
* {{Не переведено 5|Расширенная суперсимметрия|||Extended supersymmetry}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{статья |заглавие=Electric-magnetic duality and the geometric Langlands program |издание=Communications in Number Theory and Physics |том=1 |номер=1 |страницы=1—236 |arxiv= hep-th/0604151 |doi= 10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1 |bibcode= 2007CNTP....1....1K |язык=en |тип=journal |автор=Kapustin, Anton; Witten, Edward |год=2007}}

[[Категория:Суперсимметрия]]
[[Категория:Квантовая теория поля]]