Просмотр кода страницы Функция распределения простых чисел

В [[математика|математике]] '''функция распределения простых чисел''', или '''пи-функция''' <math>\pi (x)</math>, — это [[Функция (математика)|функция]], равная числу [[Простое число|простых чисел]], меньших либо равных [[Действительное число|действительному числу]] ''x''.<ref name="Bach">{{книга |год=1996 |заглавие=Algorithmic Number Theory |издательство=[[MIT Press]] |isbn=0-262-02405-5 |том=1 |страницы=234 |часть=Section 8.8 |ref=Bach |язык=und |автор=Bach, Eric; Shallit, Jeffrey}}</ref><ref name="mathworld_pcf">{{MathWorld |title=Prime Counting Function |urlname=PrimeCountingFunction}}</ref> Она обозначается <math>\pi(x)</math> (это никак не связано с [[Пи (число)|числом пи]]).

[[Файл:PrimePi.svg|thumb|right|400px|Значения пи-функции для первых 60 натуральных чисел]]

== История ==
Большой интерес в [[Теория чисел|теории чисел]] представляет [[Асимптотический анализ|скорость роста]] пи-функции.<ref name="Caldwell">{{cite web|publisher=Chris K. Caldwell|title=How many primes are there?|url=http://primes.utm.edu/howmany.shtml|accessdate=2008-12-02|archiveurl=https://www.webcitation.org/6ApJ5WNnt?url=http://primes.utm.edu/howmany.shtml|archivedate=2012-09-20|deadlink=no}}</ref><ref name="Dickson">{{книга |год=2005 |заглавие=History of the Theory of Numbers I: Divisibility and Primality |издательство=[[Dover Publications]] |isbn=0-486-44232-2 |ref=Dickson |язык=en |автор={{Нп3|L. E. Dickson|Dickson, Leonard Eugene|en|L. E. Dickson}}}}</ref> В конце XVIII столетия [[Карл Фридрих Гаусс|Гауссом]] и [[Лежандр, Адриен Мари|Лежандром]] было выдвинуто предположение, что пи-функция оценивается как

: <math> \frac{x}{\ln x}</math>

в смысле, что

: <math>\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln x}=1.</math>

Это утверждение — [[теорема о распределении простых чисел]]. Оно эквивалентно утверждению

: <math>\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\pi(x)}{\operatorname{li}(x)}=1</math>

где <math>\operatorname{li}</math> — это [[интегральный логарифм]]. Теорема о простых числах впервые была доказана в 1896 [[Адамар, Жак|Жаком Адамаром]] и независимо [[Валле-Пуссен, Шарль Жан де ла|Валле-Пуссеном]], используя [[дзета-функция Римана|дзета-функцию Римана]] введенную [[Риман, Георг Фридрих Бернхард|Риманом]] в 1859.

Точнее рост <math>\pi(x)</math> сейчас описывается как

: <math>\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O\bigl(xe^{-\sqrt{\ln x}/15}\bigr)</math>

где <math>O</math> обозначает [[O большое]]. Когда ''x'' не сильно велико <math>\operatorname{li}(x)</math> больше, чем <math>\pi(x)</math>, однако разность <math>\pi (x)-\operatorname{li}(x)</math> меняет свой знак бесконечное число раз,  наименьшее натуральное число, для которого происходит смена знака называется [[Число Скьюза|числом Скьюза]].

Доказательства теоремы о простых числах, не использующие дзета-функцию или [[комплексный анализ]], были найдены в [[1948 год]]у [[Атле Сельберг]]ом и [[Эрдёш, Пол|Паулем Эрдёшом]] (большей частью независимо).<ref name="Ireland">{{книга |год=1998 |заглавие=A Classical Introduction to Modern Number Theory |издание=Second |издательство=Springer |isbn=0-387-97329-X |язык=en |автор=K. Ireland, M. Rosen}}</ref>

== Таблицы для пи-функции, ''x'' / ln ''x'' и li(''x'') ==
В следующей таблице показан рост функций <math>\pi(x),\frac{x}{\ln x},\operatorname{li}(x)</math> по степеням 10<ref name="Caldwell" /><ref name="Silva">{{cite web|title=Tables of values of pi(x) and of pi2(x)|url=http://www.ieeta.pt/~tos/primes.html|publisher=[[Tomas Oliveira e Silva]]|accessdate=2008-09-14|archiveurl=https://www.webcitation.org/6ApJ64CGH?url=http://www.ieeta.pt/~tos/primes.html|archivedate=2012-09-20|deadlink=no}}</ref><ref name="Kulsha">{{cite web|title=Values of π(x) and Δ(x) for various x's|url=http://www.primefan.ru/stuff/primes/table.html|publisher=Andrey V. Kulsha|accessdate=2008-09-14|archiveurl=https://www.webcitation.org/6ApJ6cOHZ?url=http://www.primefan.ru/stuff/primes/table.html|archivedate=2012-09-20|deadlink=no}}</ref><ref name="Gourdon">{{cite web|title=A table of values of pi(x)|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/pixtable.html|publisher=Xavier Gourdon, Pascal Sebah, Patrick Demichel|accessdate=2008-09-14|archiveurl=https://www.webcitation.org/6ApJ7ekJl?url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/pixtable.html|archivedate=2012-09-20|deadlink=no}}</ref>.

: {| class="wikitable" style="text-align: right"
! ''x''
! π(''x'')
! π(''x'') − ''x'' / ln ''x''
! li(''x'') − π(''x'')
! ''x'' / π(''x'')
! π(''x'')/x (доля простых чисел)
|-
| 10
| 4
| −0,3
| 2,2
| 2,500
| 40 %
|-
| 10<sup>2</sup>
| 25
| 3,3
| 5,1
| 4,000
|25 %
|-
| 10<sup>3</sup>
| 168
| 23
| 10
| 5,952
|16,8 %
|-
| 10<sup>4</sup>
| 1 229
| 143
| 17
| 8,137
|12,3 %
|-
| 10<sup>5</sup>
| 9 592
| 906
| 38
| 10,425
|9,59 %
|-
| 10<sup>6</sup>
| 78 498
| 6 116
| 130
| 12,740
|7,85 %
|-
| 10<sup>7</sup>
| 664 579
| 44 158
| 339
| 15,047
|6,65 %
|-
| 10<sup>8</sup>
| 5 761 455
| 332 774
| 754
| 17,357
|5,76 %
|-
| 10<sup>9</sup>
| 50 847 534
| 2 592 592
| 1 701
| 19,667
|5,08 %
|-
| 10<sup>10</sup>
| 455 052 511
| 20 758 029
| 3 104
| 21,975
|4,55 %
|-
| 10<sup>11</sup>
| 4 118 054 813
| 169 923 159
| 11 588
| 24,283
|4,12 %
|-
| 10<sup>12</sup>
| 37 607 912 018
| 1 416 705 193
| 38 263
| 26,590
|3,76 %
|-
| 10<sup>13</sup>
| 346 065 536 839
| 11 992 858 452
| 108 971
| 28,896
|3,46 %
|-
| 10<sup>14</sup>
| 3 204 941 750 802
| 102 838 308 636
| 314 890
| 31,202
|3,20 %
|-
| 10<sup>15</sup>
| 29 844 570 422 669
| 891 604 962 452
| 1 052 619
| 33,507
|2,98 %
|-
| 10<sup>16</sup>
| 279 238 341 033 925
| 7 804 289 844 393
| 3 214 632
| 35,812
|2,79 %
|-
| 10<sup>17</sup>
| 2 623 557 157 654 233
| 68 883 734 693 281
| 7 956 589
| 38,116
|2,62 %
|-
| 10<sup>18</sup>
| 24 739 954 287 740 860
| 612 483 070 893 536
| 21 949 555
| 40,420
|2,47 %
|-
| 10<sup>19</sup>
| 234 057 667 276 344 607
| 5 481 624 169 369 960
| 99 877 775
| 42,725
|2,34 %
|-
| 10<sup>20</sup>
| 2 220 819 602 560 918 840
| 49 347 193 044 659 701
| 222 744 644
| 45,028
|2,22 %
|-
| 10<sup>21</sup>
| 21 127 269 486 018 731 928
| 446 579 871 578 168 707
| 597 394 254
| 47,332
|2,11 %
|-
| 10<sup>22</sup>
| 201 467 286 689 315 906 290
| 4 060 704 006 019 620 994
| 1 932 355 208
| 49,636
|2,01 %
|-
| 10<sup>23</sup>
| 1 925 320 391 606 803 968 923
| 37 083 513 766 578 631 309
| 7 250 186 216
| 51,939
|1,92 %
|-
| 10<sup>24</sup>
| 18 435 599 767 349 200 867 866
| 339 996 354 713 708 049 069
| 17 146 907 278
| 54,243
|1,84 %
|-
|10<sup>25</sup>
|176 846 309 399 143 769 411 680
|3 128 516 637 843 038 351 228
|55 160 980 939
|56,546
|1,77 %
|-
|10<sup>26</sup>
|1 699 246 750 872 437 141 327 603
|28 883 358 936 853 188 823 261
|155 891 678 121
|58,850
|1,70 %
|-
|10<sup>27</sup>
|16 352 460 426 841 680 446 427 399
|267 479 615 610 131 274 163 365
|508 666 658 006
|61,153
|1,64 %
|}

В [[Энциклопедия целочисленных последовательностей|OEIS]] первая колонка значений <math>\pi(x)</math> — это последовательность {{OEIS2C|id=A006880}}, <math>\pi(x)-\left\lfloor\frac{x}{\ln x}+0{,}5\right\rfloor</math> — это последовательность {{OEIS2C|id=A057835}}, а <math>\lfloor\operatorname{li}(x)+0{,}5\rfloor-\pi(x)</math> — это последовательность {{OEIS2C|id=A057752}}.

==  Алгоритмы вычисления пи-функции ==
Простой способ найти <math>\pi(x)</math>, если <math>x</math> не очень велико, — это использование [[Решето Эратосфена|решета Эратосфена]] выдающего простые, не превосходящие <math>x</math> и подсчитать их.

Более продуманный способ вычисления <math>\pi(x)</math> был дан [[Лежандр, Адриен Мари|Лежандром]]: дан <math>x</math>, если <math>p_1,p_2,\ldots,p_k</math> — различные простые числа, то число целых чисел, не превосходящих <math>x</math> и не делящихся на все <math>p_i</math> равно

: <math>\lfloor x\rfloor - \sum_{i}\left\lfloor\frac{x}{p_i}\right\rfloor + \sum_{i<j}\left\lfloor\frac{x}{p_ip_j}\right\rfloor - \sum_{i<j<k}\left\lfloor\frac{x}{p_ip_jp_k}\right\rfloor + \cdots</math>

(где <math>\lfloor\cdots\rfloor</math> обозначает [[Целая часть|целую часть]]). Следовательно, полученное число равно

: <math>\pi(x)-\pi\left(\sqrt{x}\right)+1</math>

если числа <math>p_1, p_2,\ldots,p_k</math> — это все простые числа, не превосходящие <math>\sqrt{x}</math>.

В 1870—1885 годах в серии статей [[Майссель, Эрнст|Эрнст Майссель]] описал (и использовал) практический комбинаторный способ вычисления <math>\pi(x)</math>. Пусть <math>p_1,p_2,\ldots,p_n</math> — первые <math>n</math> простых, обозначим <math>\Phi(m,n)</math> число натуральных чисел, не превосходящих <math>m</math>, которые не делятся ни на одно <math>p_i</math>. Тогда

: <math>\Phi(m,n)=\Phi(m,n-1)-\Phi\left(\left[\frac{m}{p_n}\right],n-1\right)</math>

Возьмем натуральное <math>m</math>, если <math>n=\pi\left(\sqrt[3]{m}\right)</math> и если <math>\mu=\pi\left(\sqrt{m}\right)-n</math>, то

: <math>\pi(m)=\Phi(m,n)+n(\mu+1)+\frac{\mu^2-\mu}{2}-1-\sum_{k=1}^\mu\pi\left(\frac{m}{p_{n+k}}\right)</math>

Используя этот подход, Майссель вычислил <math>\pi(x)</math> для <math>x=5\cdot 10^5;10^6;10^7;10^8</math>.

В 1959 году [[Лемер, Деррик Генри|Деррик Генри Лемер]] расширил и упростил метод Майсселя. Определим, для действительного <math>m</math> и для натуральных <math>n,k</math> величину <math>P_k(m,n)</math> как число чисел, не превосходящих ''m'' имеющих ровно ''k'' простых множителей, причем все они превосходят <math>p_n</math>. Кроме того, положим <math>P_0(m,n)=1</math>. Тогда

: <math>\Phi(m,n)=\sum_{k=0}^{+\infty}P_k(m,n)</math>

где сумма явно всегда имеет конечное число ненулевых слагаемых. Пусть <math>y</math> — целое, такое, что <math>\sqrt[3]{m}\leqslant y\leqslant\sqrt{m}</math>, и положим <math>n=\pi(y)</math>. Тогда <math>P_1(m,n)=\pi(m)-n</math> и <math>P_k(m,n)=0</math> при <math>k\geqslant 3</math>. Следовательно

: <math>\pi(m)=\Phi(m,n)+n-1-P_2(m,n)</math>

Вычисление <math>P_2(m,n)</math> может быть получено следующим способом:

: <math>P_2(m,n)=\sum_{y<p\leqslant\sqrt{m}}\left(\pi\left(\frac mp\right)-\pi(p)+1\right)</math>

С другой стороны, вычисление <math>\Phi(m,n)</math> может быть выполнено с помощью следующих правил:

# <math>\Phi(m,0)=\lfloor m\rfloor</math>
# <math>\Phi(m,b)=\Phi(m,b-1)-\Phi\left(\frac m{p_b},b-1\right)</math>

Используя этот метод и [[IBM]] 701, Лемер смог вычислить <math>\pi\left(10^{10}\right)</math>.

Дальнейшие усовершенствования этого метода были сделаны Lagarias, Miller, Odlyzko, Deleglise и Rivat.<ref name="pix_comp">{{cite web|title=Computing ?(x): The Meissel, Lehmer, Lagarias, Miller, Odlyzko method|url=http://www.ams.org/mcom/1996-65-213/S0025-5718-96-00674-6/S0025-5718-96-00674-6.pdf|publisher=Marc Deleglise and Joel Rivat, ''Mathematics of Computation'', vol.&nbsp;'''65''', number 33, January 1996, pages 235–245|accessdate=2008-09-14|archiveurl=https://www.webcitation.org/6ApJ88vBl?url=http://www.ams.org/journals/mcom/1996-65-213/S0025-5718-96-00674-6/S0025-5718-96-00674-6.pdf|archivedate=2012-09-20|deadlink=no}}</ref>

Китайский математик Hwang Cheng использовал следующие тождества:<ref name="Cheng">{{cite news|author=Hwang H., Cheng |title=Demarches de la Geometrie et des Nombres de l'Universite du Bordeaux |publisher= Prime Magic conference |year=2001 }}</ref>

: <math>e^{(a-1)\Theta}f(x)=f(ax),</math>

: <math>J(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\pi(x^{1/n})}{n}</math>

и, полагая <math>x=e^t</math>, выполняя преобразование Лапласа обеих частей и применяя сумму геометрической прогрессии с <math>e^{n\Theta}</math>, получил выражение:

: <math>\frac{1}{2{\pi}i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}g(s)t^{s}\,ds = \pi(t)</math>

: <math>\frac{\ln \zeta(s)}{s}=(1-e^{\Theta(s)})^{-1}g(s)</math>

: <math>\Theta(s)=s\frac{d}{ds}</math>

== Другие функции, подсчитывающие простые числа ==
Другие функции, подсчитывающие простые числа, также используются, поскольку с ними удобнее работать. Одна из них — функция Римана, часто обозначаемая как <math>\Pi_0(x)</math> или <math>J_0(x)</math>. Она испытывает прыжок на ''1/n'' для степеней простых <math>p^n</math>, причем в точке прыжка <math>x</math> её значение равно полусумме значений на обеих сторонах от <math>x</math>. Эти дополнительные детали нужны для того, чтобы она могла быть определена обратным [[Преобразование Меллина|преобразованием Меллина]]. Формально, мы определим <math>\Pi_0(x)</math> как

: <math>\Pi_0(x) = \frac12 \bigg(\sum_{p^n < x} \frac1n\ + \sum_{p^n \le x} \frac1n\bigg)</math>

где ''p'' простое.

Мы также можем записать

: <math>\Pi_0(x) = \sum\limits_{n=2}^x \frac{\Lambda(n)}{\ln n} - \frac12 \frac{\Lambda(x)}{\ln x} = \sum_{n=1}^\infty \frac1n \pi_0(\sqrt[n]{x})</math>

где <math>\Lambda(n)</math> — [[функция Мангольдта]] и

: <math>\pi_0(x) = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{\pi(x-\varepsilon)+\pi(x+\varepsilon)}2.</math>

[[Формула обращения Мёбиуса]] дает

: <math>\pi_{0}(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}n \Pi_0(\sqrt[n]{x})</math>

Используя известное соотношение между логарифмом [[Дзета-функция Римана|дзета-функции Римана]] и [[Функция Мангольдта|функцией Мангольдта]] <math>\Lambda</math>, и используя [[Формула Перрона|формулу Перрона]] мы получим

: <math>\ln \zeta(s) = s \int_0^\infty \Pi_0(x) x^{-s-1}\,dx</math>

Функция Римана имеет производящую функцию

: <math>\sum_{n=1}^\infty \Pi_0(n)x^n = \sum_{a=2}^\infty \frac{x^{a}}{1-x} - \frac{1}{2}\sum_{a=2}^\infty
\sum_{b=2}^\infty \frac{x^{ab}}{1-x} + \frac{1}{3}\sum_{a=2}^\infty \sum_{b=2}^\infty \sum_{c=2}^\infty \frac{x^{abc}}{1
-x} - \frac{1}{4}\sum_{a=2}^\infty \sum_{b=2}^\infty \sum_{c=2}^\infty \sum_{d=2}^\infty \frac{x^{abcd}}{1-x} + 
\cdots </math>

[[Функции Чебышёва]] — это функции, подсчитывающие степени простых чисел <math>p^n</math> с весом <math>\ln p</math>:

: <math>\theta(x)=\sum_{p\leqslant x}\ln p</math>
: <math>\psi(x) = \sum_{p^n\leqslant x} \ln p = \sum_{n=1}^\infty \theta(\sqrt[n]{x}) = \sum_{n\leqslant x}\Lambda(n).</math>

== Формулы для функций, подсчитывающих простые числа ==
Формулы для функций, подсчитывающих простые числа, бывают двух видов: арифметические формулы и аналитические формулы. Аналитические формулы для таких функций были впервые использованы для доказательства [[Теорема о простых числах|теоремы о простых числах]]. Они происходят от работ Римана и [[Мангольдт, Ганс Карл Фридрих фон|Мангольдта]] и в общем известны как [[Явная формула|явные формулы]].<ref name="Titchmarsh">{{книга |год=1960 |заглавие=The Theory of Functions, 2nd ed |издательство=[[Издательство Оксфордского университета|Oxford University Press]] |ref=Titchmarsh |язык=en |автор=Titchmarsh, E.C. }}</ref>

Существует следующее выражение для <math>\psi</math>-функции Чебышёва:

: <math>\psi_0(x) = x - \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} - \ln 2\pi - \frac12 \ln(1-x^{-2})</math>

где

: <math>\psi_0(x) = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{\psi(x-\varepsilon)+\psi(x+\varepsilon)}2.</math>

Здесь <math>\rho</math> пробегает нули [[Дзета-функция Римана|дзета-функции]] в критической полосе, где действительная часть <math>\rho</math> лежит между нулем и единицей. Формула верна для всех <math>x>1</math>. Ряд по корням сходится условно, и может быть взят в порядке абсолютного значения возрастания мнимой части корней. Заметим, что аналогичная сумма по тривиальным корням дает последнее слагаемое в формуле.

Для <math>\scriptstyle\Pi_0(x)</math> мы имеем следующую сложную формулу

: <math>\Pi_0(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{li}(x^{\rho}) - \ln 2 + \int_x^\infty \frac{dt}{t(t^2-1) \ln t}.</math>

Опять же, формула верна для всех <math>x>1</math>, где <math>\rho</math> — нетривиальные нули зета-функции, упорядоченные по их абсолютному значению, и, снова, последний интеграл берется со знаком «минус» и является такой же суммой, но по тривиальным нулям. Выражение <math>\operatorname{li}(x^{\rho})</math> во втором члене может быть рассмотренно как <math>\operatorname{Ei}(\rho\ln x)</math>, где <math>\operatorname{Ei}</math> — это [[аналитическое продолжение]] [[Интегральная показательная функция|интегральной показательной функции]] на комплексную плоскость с ветвью, вырезанной вдоль прямой <math>x<0</math>.

Таким образом, [[формула обращения Мёбиуса]] дает нам<ref>{{статья |заглавие=Some calculations related to Riemann's prime number formula |doi=10.2307/2004630 |mr=0277489 |издание={{Нп3|Mathematics of Computation}} |issn=0025-5718 |том=24 |номер=112 |страницы=969—983 |jstor=2004630 |издательство=American Mathematical Society |язык=en |тип=journal |автор={{Нп3|Riesel, Hans|Riesel, Hans||Hans Riesel}}; Gohl, Gunnar |год=1970}}</ref>

: <math>\pi_{0}(x)=\operatorname{R}(x)-\sum_{\rho}\operatorname{R}(x^{\rho})-\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{\pi}\mathop{\mathrm{arctg}} \frac{\pi}{\ln x}</math>

верное для <math>x>1</math>, где

: <math>\operatorname{R}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu (n)}{n}\operatorname{li}(x^{1/n})=1+\sum_{k=1}^\infty \frac{(\ln x)^k}{k! k \zeta(k+1)}</math>

называется R-функцией также в честь Римана.<ref name="mathworld_r">{{MathWorld |title=Riemann Prime Counting Function |urlname=RiemannPrimeCountingFunction}}</ref> Последний ряд в ней известен как ряд [[Грам, Йорген Педерсен|Грама]]<ref name="mathworld_gram">{{MathWorld|title=Gram Series |urlname=GramSeries}}</ref> и сходится для всех <math>x>0</math>.

Сумма по нетривиальным нулям дзета-функции в формуле для <math>\pi_0(x)</math> описывает флуктуации <math>\pi_0(x)</math>, в то время как остальные слагаемые дают гладкую часть пи-функции,<ref name="Watkins">{{cite web|title=The encoding of the prime distribution by the zeta zeros|url=http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/encoding1.htm|publisher=Matthew Watkins|accessdate=2008-09-14|archiveurl=https://www.webcitation.org/6ApJ8jxex?url=http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/encoding1.htm|archivedate=2012-09-20|deadlink=no}}</ref> поэтому мы можем использовать

: <math>\operatorname{R}(x) - \frac{1}{\ln x} + \frac{1}{\pi}\mathop{\mathrm{arctg}}\frac{\pi}{\ln x}</math>

как [http://www.primefan.ru/stuff/primes/best_estimator.gif наилучшее приближение] для <math>\pi(x)</math> для <math>x>1</math>.

Амплитуда «шумной» части эвристически оценивается как <math>\sqrt x/\ln x</math>, поэтому флуктуации в распределении простых могут быть явно представлены <math>\Delta</math>-функцией:

: <math>\Delta(x) = \left( \pi_0(x) - \operatorname{R}(x) + \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{\pi}\mathop{\mathrm{arctg}}\frac{\pi}{\ln x} \right) \frac{\ln x}{\sqrt x}.</math>

Обширные таблицы значений <math>\Delta(x)</math> доступны здесь.<ref name="Kulsha" />

== Неравенства ==
Здесь выписаны некоторые неравенства для <math>\pi (x)</math>.

: <math>\frac{x}{\ln x}<\pi(x)<1{,}25506\cdot \frac{x}{\ln x} \qquad x \geqslant 17.</math>

Левое неравенство выполняется при <math>x \geqslant 17</math>, а правое — при <math>x>1.</math><ref>{{статья |заглавие=Approximate formulas for some functions of prime numbers |издание=Illinois J. Math. |том=6 |страницы=64—94 |zbl=0122.05001 |issn=0019-2082 |ссылка=https://projecteuclid.org/euclid.ijm/1255631807 |язык=en |тип=journal |автор={{Нп3|Rosser, J. Barkley|Rosser, J. Barkley||J. Barkley Rosser}}; Schoenfeld, Lowell |год=1962 |archivedate=2019-02-28 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20190228015316/https://projecteuclid.org/euclid.ijm/1255631807 }}</ref>

Неравенства для <math>n</math>-го простого числа <math>p_n</math>:
: <math>n\ln n+n\ln\ln n -3/2\cdot n<p_n<n\ln n +n\ln\ln n, \ n\geqslant 6.</math>
Левое неравенство верно при <math>n \geqslant 2</math>, а правое — при <math>n \geqslant 6</math>.

Имеет место следующая асимптотика для <math>n</math>-го простого числа <math>p_n</math>:
: <math> p_n = n\ln n\left(1+\frac{\ln\ln n-1}{\ln n}+\frac{\ln\ln n-2}{\ln ^2 n}+\frac{-1/2\ln ^2\ln n+3\ln\ln n -11/2}{\ln^3 n}+O\left(\frac{\ln^3\ln n}{\ln^4 n}\right)\right)</math>

== Гипотеза Римана ==
{{main|Гипотеза Римана}}

[[Гипотеза Римана]] эквивалентна более точной границе ошибки приближения <math>\pi(x)</math> интегральным логарифмом, а отсюда и более регулярному распределению простых чисел

: <math>\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O(\sqrt{x} \ln x).</math>

В частности,<ref>{{статья |заглавие=Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(''x'') and ψ(''x''). II |doi=10.2307/2005976 |mr=0457374 |издание={{Нп3|Mathematics of Computation}} |issn=0025-5718 |том=30 |номер=134 |страницы=337—360 |jstor=2005976 |издательство=American Mathematical Society |язык=en |тип=journal |автор=Lowell Schoenfeld |год=1976}}</ref>
: <math>|\pi(x) - \operatorname{li}(x)| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln x, \qquad x \geqslant 2657. </math>

== См. также ==
* [[Теорема о распределении простых чисел]]
* [[Постулат Бертрана]]
* [[Число Скьюза]]

== Примечания ==
{{примечания|colwidth=25em}}

== Литература ==
* {{книга|автор=К. Прахар|заглавие=Распределение простых чисел|издательство=Мир|год=1967}}
*[http://regiomontan.ru/book/VZ_primes.pdf В. И. Зенкин. Распределение простых чисел. Элементарные методы. Калининград, 2008.]

== Ссылки ==
* Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/nthprime/ ''The Nth Prime Page''] at The [[Prime Pages]].

[[Категория:Аналитическая теория чисел]]
[[Категория:Теория простых чисел]]