Формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа

В математике, формула Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа определяет выражение для $Z$ из следующего равенства

$e^{X}e^{Y}=e^{Z}$

здесь X и Y возможно не комутирующие матрицы. Существует несколько вариантов для записи $Z$. Если предсавить $Z$ в виде разложения в ряд, то первые несколько членов будут иметь вид:

$Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots \,,$

где "$\cdots$" содержит слагаемые болие высокие порядки комутаторов $X$ и $Y$.

Наиболее общее выражение для $Z$ дается формулой Дынкина :

$Z$ = $\log(\exp X\exp Y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\begin{smallmatrix}r_{1}+s_{1}>0\\\vdots \\r_{n}+s_{n}>0\end{smallmatrix}}{\frac {[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}X^{r_{2}}Y^{s_{2}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]}{(\sum _{j=1}^{n}(r_{j}+s_{j}))\cdot \prod _{i=1}^{n}r_{i}!s_{i}!}},$

где суммирование проводиться по всем неотрицательным значениям $s_{i}$ и $r_{i}$, и были приняты следующие обозначения:

$[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]=[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{1}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm [Y} _{s_{1}},\,\dotsm \,[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{n}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm Y} _{s_{n}}]]\dotsm ]].$