Формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа

Формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа определяет выражение для $Z$ из следующего равенства

$e^{X}e^{Y}=e^{Z}$

здесь $X$, $Y$ и $Z$ — элементы алгебры Ли близкие к нулю. Выражение на $Z$ является довольно сложным рядом с членами составленными из скобок Ли от $X$, $Y$.

Существование этой формулы играет ключевую роль в доказательстве того, что алгебра Ли полностью определяет локальную структуру своей группы Ли. Частный случай этой формулы применяется в квантовой механике и особенно в квантовой оптике.

Формула

Существует несколько вариантов для записи $Z$. Если представить $Z$ в виде разложения в ряд, то первые несколько членов будут иметь вид:

${\begin{aligned}Z(X,Y)&=\log(\exp X\exp Y)=\\&{}=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}\left([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]]\right)-\\&{}\quad -{\frac {1}{24}}[Y,[X,[X,Y]]]-\\&{}\quad -{\frac {1}{720}}\left([Y,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[X,[X,[X,[X,Y]]]]\right)+\\&{}\quad +{\frac {1}{360}}\left([X,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[Y,[X,[X,[X,Y]]]]\right)+\\&{}\quad +{\frac {1}{120}}\left([Y,[X,[Y,[X,Y]]]]+[X,[Y,[X,[Y,X]]]]\right)+\\&{}\quad +\cdots \end{aligned}}$

где "$\cdots$" содержит слагаемые более высоких порядков.

Наиболее общее выражение для $Z$ дается формулой Дынкина :

$Z$ = $\log(\exp X\exp Y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\begin{smallmatrix}r_{1}+s_{1}>0\\\vdots \\r_{n}+s_{n}>0\end{smallmatrix}}{\frac {[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}X^{r_{2}}Y^{s_{2}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]}{(\sum _{j=1}^{n}(r_{j}+s_{j}))\cdot \prod _{i=1}^{n}r_{i}!s_{i}!}},$

здесь суммирование проводится по всем неотрицательным значениям $s_{i}$ и $r_{i}$, и приняты следующие обозначения:

$[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]=[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{1}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm [Y} _{s_{1}},\,\dotsm \,[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{n}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm Y} _{s_{n}}]]\dotsm ]].$