Гипотеза об одиноком бегуне

Пример гипотезы об одиноком бегуне с 6 бегущими

В теории игр, особенно при изучении диофантовых приближений, гипотеза об одиноком бегуне — это гипотеза, выдвинутая Виллсом (J. M. Wills) в 1967. Приложения гипотезы широко представлены в математике, они включают задачи ограничения обзора и вычисления хроматического числа дистанционных и циркулянтных графов. Гипотеза получила образное имя благодаря Годину (L. Goddyn) в 1998.

Гипотеза

Пусть k бегунов бегут по круговому треку единичной длины. В момент t = 0 все бегуны находились в одной точке и начали забег. Скорость бегунов попарно различна. Говорят, что бегун A одинок в момент t, если он находится на расстоянии по меньшей мере 1/k от всех остальных бегунов. Гипотеза утверждает, что каждый игрок будет одиноким в некоторый момент времени.

Обычная формулировка задачи предполагает, что бегуны имеют скорости, выражаемые целыми числами, не делящимися на одно и то же простое число. Игрок, который должен быть одиноким, имеет нулевую скорость. Гипотеза утверждает, что для любого набора положительных чисел D размером k − 1 с НОД = 1,

$\exists t\in \mathbb {R} \quad \forall d\in D\quad ||td||\geq {\frac {1}{k}},$

где ||x|| означает расстояние числа x к ближайшему целому.

Известные результаты

Нерешённые проблемы математики: Можно ли доказать гипотезу об одиноком бегуне для k≥8?

k	год доказательства	кем доказано	замечания
1	-	-	тривиально: t = 0; для любого t
2	-	-	тривиально: t = 1 / (2 * (v1-v0))
3	-	-	Любое доказательство для k>3 также доказывает k=3
4	1972	Бетке и Виллс; Кузик	-
5	1984	Кузик и Померанц; Бьенья и др.	-
6	2001	Бохман, Хольцман, Кляйтман; Рено	-
7	2008	Барайас и Серра	-

Внешние ссылки

• статья в «the Open Problem Garden»