Квантовый дилогарифм

Квантовый дилогарифм — это специальная функция, определяемая формулой

$\phi (x)\equiv (x;q)_{\infty }=\prod _{n=0}^{\infty }(1-xq^{n}),\quad |q|<1$

В терминах q-экспоненты имеем $\phi (x)=E_{q}(x)$ .

Пусть $u,v$ — «q-коммутирующие переменные», являющиеся элементами некоторой некоммутативной алгебры и удовлетворяющие отношению Вейля $uv=qvu$. Тогда квантовый дилогарифм удовлетворяют тождеству Шютценбергерже

$\phi (u)\phi (v)=\phi (u+v)$

тождеству Фаддеева — Волкова

$\phi (v)\phi (u)=\phi (u+v-vu)$

и тождеству Фаддеева — Кашаева

$\phi (v)\phi (u)=\phi (u)\phi (-vu)\phi (v)$

Последнее тождество является квантовым обобщением пятичленного тождества Роджерса.

Квантовый дилогарифм Фаддеева $\Phi _{b}(w)$ определяется следующей формулой:

$\Phi _{b}(z)=\exp \left({\frac {1}{4}}\int _{C}{\frac {e^{-2izw}}{\sinh(wb)\sinh(w/b)}}{\frac {\operatorname {d} \!w}{w}}\right)$

где контур интегрирования $C$ обходит сингулярность при t = 0 сверху. Та же функция может быть описана с помощью интегральной формулы Вороновича

$\Phi _{b}(x)=\exp \left({\frac {i}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\frac {\log(1+e^{tb^{2}+2\pi bx})}{1+e^{t}}}\operatorname {d} \!t\right).$

Людвиг Дмитриевич Фаддеев обнаружил квантовое пятичленное тождество

$\Phi _{b}({\hat {p}})\Phi _{b}({\hat {q}})=\Phi _{b}({\hat {q}})\Phi _{b}({\hat {p}}+{\hat {q}})\Phi _{b}({\hat {p}})$

где ${\hat {p}}$ и ${\hat {q}}$ — самосопряжённые (нормализованные) операторы квантового механического импульса и положения, удовлетворяющие соотношению неопределённости Гейзенберга

$[{\hat {p}},{\hat {q}}]={\frac {1}{2\pi i}},$

и обратное отношение

$\Phi _{b}(x)\Phi _{b}(-x)=\Phi _{b}(0)^{2}e^{\pi ix^{2}},\quad \Phi _{b}(0)=e^{{\frac {\pi i}{24}}\left(b^{2}+b^{-2}\right)}.$

Квантовый дилогарифм находит приложение в математической физике, квантовой топологии и теории кластерных алгебр.

Точная связь между q-показательной функцией и $\Phi _{b}$ выражается тождеством

$\Phi _{b}(z)={\frac {E_{e^{2\pi ib^{2}}}(-e^{\pi ib^{2}+2\pi zb})}{E_{e^{-2\pi i/b^{2}}}(-e^{-\pi i/b^{2}+2\pi z/b})}}$,

которое выполняется при Im $b^{2}>0$.

Ссылки

• quantum dilogarithm на сайте nLab