Специальные функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Специальные функции — встречающиеся в различных приложениях математики (чаще всего — в различных задачах математической физики) функции, которые не выражаются через элементарные функции. Специальные функции представляются в виде рядов или интегралов.

Специальные функции возникают обычно из следующих соображений:

  • «неберущиеся» интегралы;
  • решения трансцендентных уравнений, не выражающиеся в элементарных функциях;
  • решения дифференциальных уравнений, не выражающиеся в элементарных функциях;
  • ряды, не сходящиеся к элементарным функциям;
  • математическое выражение свойств чисел;
  • необходимость задания функции с необычными свойствами.

Это разделение не является строгим, поскольку, например, большинство неэлементарных решений дифференциальных уравнений удалось выразить через неберущийся интеграл или в виде ряда. Поэтому не существует строгой классификации трансцендентных функций

Большинство специальных функций являются трансцендентными.

Функции-интегралы[править | править вики-текст]

К таким специальным функциям относятся: бета-функция, гамма-функция, интегральный логарифм, интеграл вероятности, интегральный синус, интегральный косинус, эллиптические функции.

Функции-ряды[править | править вики-текст]

К таким функциям относятся гипергеометрическая функция, дзета-функция.

Неэлементарные решения дифференциальных уравнений[править | править вики-текст]

К таким специальным функциям относятся: сферические функции, цилиндрические функции, функции Эйри, функции параболического цилиндра, функции Матьё.

Необычные функции[править | править вики-текст]

Существует много функций с необычным поведением, придуманных для различных целей. Это функция Дирихле, функция Хевисайда.

Функции, выражающие свойства чисел[править | править вики-текст]

Эти функции обычно связаны с простейшими свойствами чисел. Сюда прежде всего можно отнести специальные арифметические функции, модуль, знак числа, факториал.

См. также[править | править вики-текст]

  • Проект Бейтмена — проект по созданию многотомного энциклопедического издания по теории специальных функций

Литература[править | править вики-текст]

  • Математический энциклопедический словарь, — Любое издание.
  • Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции, — М.: Наука, 1978.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. — М.: Наука, 1965. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 1 — 1953.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1966. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 2 — 1953.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. — М.: Наука, 1967. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 3 — 1955.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. — М.: Наука, 1969. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 1 — 1954.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. — М.: Наука, 1970. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 2 — 1954.

Ссылки[править | править вики-текст]