Фу́нкции Га́нкеля (Ха́нкеля) (Функции Бесселя третьего рода) - это линейные комбинации функций Бесселя первого и второго рода, а следовательно, решения уравнения Бесселя . Названы в честь немецкого математика Германа Ганкеля .
H
ν
(
1
)
(
z
)
=
J
ν
(
z
)
+
i
N
ν
(
z
)
{\displaystyle H_{\nu }^{(1)}(z)=J_{\nu }(z)+iN_{\nu }(z)}
— функция Ганкеля первого рода;
H
ν
(
2
)
(
z
)
=
J
ν
(
z
)
−
i
N
ν
(
z
)
{\displaystyle H_{\nu }^{(2)}(z)=J_{\nu }(z)-iN_{\nu }(z)}
— функция Ганкеля второго рода.
Функции Ганкеля с индексом 0 являются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца .
Свойства
Представление функциями Бесселя первого рода:
H
ν
(
1
)
(
z
)
=
J
−
ν
(
z
)
−
e
−
ν
π
i
J
ν
(
z
)
i
sin
(
ν
π
)
{\displaystyle H_{\nu }^{(1)}(z)={\frac {J_{-\nu }(z)-e^{-\nu \pi i}J_{\nu }(z)}{i\sin(\nu \pi )}}}
H
ν
(
2
)
(
z
)
=
J
−
ν
(
z
)
−
e
ν
π
i
J
ν
(
z
)
−
i
sin
(
ν
π
)
{\displaystyle H_{\nu }^{(2)}(z)={\frac {J_{-\nu }(z)-e^{\nu \pi i}J_{\nu }(z)}{-i\sin(\nu \pi )}}}
W
[
H
ν
(
1
)
(
z
)
,
H
ν
(
2
)
(
z
)
]
=
−
4
i
π
z
{\displaystyle W\left[H_{\nu }^{(1)}(z),H_{\nu }^{(2)}(z)\right]=-{\frac {4i}{\pi z}}}
H
−
ν
(
1
)
(
z
)
=
e
ν
π
i
H
ν
(
1
)
(
z
)
{\displaystyle H_{-\nu }^{(1)}(z)=e^{\nu \pi i}H_{\nu }^{(1)}(z)}
H
−
ν
(
2
)
(
z
)
=
e
−
ν
π
i
H
ν
(
2
)
(
z
)
{\displaystyle H_{-\nu }^{(2)}(z)=e^{-\nu \pi i}H_{\nu }^{(2)}(z)}
H
−
ν
(
1
)
(
z
)
∼
2
π
z
e
i
4
(
4
z
−
2
π
ν
−
π
)
{\displaystyle H_{-\nu }^{(1)}(z)\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{{\frac {i}{4}}(4z-2\pi \nu -\pi )}}
, если
|
z
|
→
∞
,
−
π
<
arg
z
<
2
π
{\displaystyle |z|\to \infty ,-\pi <\arg z<2\pi }
;
H
−
ν
(
2
)
(
z
)
∼
2
π
z
e
−
i
4
(
4
z
−
2
π
ν
−
π
)
{\displaystyle H_{-\nu }^{(2)}(z)\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-{\frac {i}{4}}(4z-2\pi \nu -\pi )}}
, если
|
z
|
→
∞
,
−
2
π
<
arg
z
<
π
{\displaystyle |z|\to \infty ,-2\pi <\arg z<\pi }
.
См. также
Литература
Ватсон Г., «Теория бесселевых функций» т. 1,2 М., ИЛ , 1949 г.
Бейтмен Г., Эрдейи А. «Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены». Справочная математическая библиотека М. Физматгиз 1966 г. 296 с.
Ссылки