Сферические функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией.


Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения.

Определение[править | править исходный текст]

Вещественные сферические функции Ylm, l=0…4 (сверху вниз), m=0…4 (слева направо). Функции отрицательного порядка Yl-m повёрнуты вокруг оси Z на 90/m градусов относительно функций положительного порядка.

Сферические функции являются собственными функциями оператора Лапласа в сферической системе координат (обозначение Y_{l m}(\theta, \varphi)). Они образуют ортонормированную систему в пространстве функций на двумерной сфере:

\langle Y_{l m}; Y_{l m} \rangle = \iint |Y_{l m}|^2 \sin{\theta}\,d\theta\,d\varphi = 1
\langle Y_{l m}; Y_{l' m'} \rangle = \int\limits_0^{2 \pi} \int\limits_0^{\pi} Y^*_{l' m'} Y_{l m} \sin{\theta}\,d\theta \,d\varphi = \delta_{l l'} \delta_{m m'},

где * обозначает комплексное сопряжение, \delta_{l l'} — символ Кронекера.

Сферические функции имеют вид

Y_{l m}= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{i m \varphi} \Theta_{l m}(\theta),

где функции \Theta_{l m}(\theta) являются решениями уравнения

\frac{1}{\sin{\theta}} \frac{d}{d\theta}\left(\sin{\theta} \frac{d \Theta_{l m}}{d\theta}\right) - \frac{m^2}{\sin^2{\theta}} \Theta_{l m} + l(l+1) \Theta_{l m} = 0

и имеют вид

\Theta_{l m} = (-1)^m \sqrt{\frac{2l+1}{2} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P^m_l (\cos\theta)

Здесь P^m_l (\cos\theta) — присоединённые многочлены Лежандра, а m! — факториал.

Литература[править | править исходный текст]


См. также[править | править исходный текст]

Приложения[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]