Нормальный алгоритм

Норма́льный алгори́тм Ма́ркова (НАМ, также марковский алгоритм) — один из стандартных способов формального определения понятия алгоритма (другой известный способ — машина Тьюринга). Понятие нормального алгорифма введено А. А. Марковым (младшим) в конце 1940-х годов в работах по неразрешимости некоторых проблем теории ассоциативных вычислений. Традиционное написание и произношение слова «алгорифм» в этом термине также восходит к его автору, многие годы читавшему курс математической логики на механико-математическом факультете МГУ.

Нормальный алгорифм описывает метод переписывания строк, похожий по способу задания на формальные грамматики. НАМ является Тьюринг-полным языком, что делает его по выразительной силе эквивалентным машине Тьюринга и, следовательно, современным языкам программирования. На основе НАМ был создан функциональный язык программирования Рефал.

Описание

Нормальные алгорифмы являются вербальными, то есть предназначенными для применения к словам в различных алфавитах.

Определение всякого нормального алгорифма состоит из двух частей: определения алфавита алгорифма (к словам из символов которого алгорифм будет применяться) и определения его схемы. Схемой нормального алгорифма называется конечный упорядоченный набор так называемых формул подстановки, каждая из которых может быть простой или заключительной. Простыми формулами подстановки называются слова вида $L\to D$, где $L$ и $D$ — два произвольных слова в алфавите алгорифма (называемые, соответственно, левой и правой частями формулы подстановки). Аналогично, заключительными формулами подстановки называются слова вида $L\to\cdot D$, где $L$ и $D$ — два произвольных слова в алфавите алгорифма. При этом предполагается, что вспомогательные буквы $\to$ и $\to\cdot$ не принадлежат алфавиту алгорифма (в противном случае на исполняемую ими роль разделителя левой и правой частей следует избрать другие две буквы).

Примером схемы нормального алгорифма в пятибуквенном алфавите $|*abc$ может служить схема

$\left\{\begin{matrix} |b&\to& ba|\\ ab&\to& ba\\ b&\to&\\ {*}|&\to& b*& \\ {*}&\to& c& \\ |c&\to& c\\ ac&\to& c|\\ c&\to\cdot\end{matrix}\right.$

Процесс применения нормального алгорифма к произвольному слову $V$ в алфавите этого алгорифма представляет собой дискретную последовательность элементарных шагов, состоящих в следующем. Пусть $V'$ — слово, полученное на предыдущем шаге работы алгорифма (или исходное слово $V$, если текущий шаг является первым). Если среди формул подстановки нет такой, левая часть которой входила бы в $V'$, то работа алгорифма считается завершённой, и результатом этой работы считается слово $V'$. Иначе среди формул подстановки, левая часть которых входит в $V'$, выбирается самая первая. Если эта формула подстановки имеет вид $L\to\cdot D$, то из всех возможных представлений слова $V'$ в виде $RLS$ выбирается такое, при котором $R$ — самое короткое, после чего работа алгорифма считается завершённой с результатом $RDS$. Если же эта формула подстановки имеет вид $L\to D$, то из всех возможных представлений слова $V'$ в виде $RLS$ выбирается такое, при котором $R$ — самое короткое, после чего слово $RDS$ считается результатом текущего шага, подлежащим дальнейшей переработке на следующем шаге.

Например, в ходе процесса применения алгорифма с указанной выше схемой к слову $|*||$ последовательно возникают слова $|b*|$, $ba|*|$, $a|*|$, $a|b*$, $aba|*$, $baa|*$, $aa|*$, $aa|c$, $aac$, $ac|$ и $c||$, после чего алгорифм завершает работу с результатом $||$. Другие примеры смотрите ниже.

Любой нормальный алгорифм эквивалентен некоторой машине Тьюринга, и наоборот — любая машина Тьюринга эквивалентна некоторому нормальному алгорифму. Вариант тезиса Чёрча — Тьюринга, сформулированный применительно к нормальным алгорифмам, принято называть «принципом нормализации».

Нормальные алгорифмы оказались удобным средством для построения многих разделов конструктивной математики. Кроме того, заложенные в определении нормального алгорифма идеи используются в ряде ориентированных на обработку символьной информации языков программирования — например, в языке Рефал.

Примеры

Пример 1

Использование алгорифма Маркова для преобразований над строками.

Алфавит:

{ а...я, А...Я, пробел, точка }

Правила:

1. А → апельсин
2. кг → килограмм
3. М → магазинчике
4. Т → том
5. магазинчике →• ларьке (заключительная формула)
6. в том ларьке → на том рынке

Исходная строка:

Я купил кг Аов в Т М.

При выполнении алгорифма строка претерпевает следующие изменения:

1. Я купил кг апельсинов в Т М.
2. Я купил килограмм апельсинов в Т М.
3. Я купил килограмм апельсинов в Т магазинчике.
4. Я купил килограмм апельсинов в том магазинчике.
5. Я купил килограмм апельсинов в том ларьке.

На этом выполнение алгорифма завершится (так как будет достигнута формула № 5, которую мы сделали заключительной).

Пример 2

Данный алгорифм преобразует двоичные числа в «единичные» (в которых записью целого неотрицательного числа N является строка из N палочек). Например, двоичное число 101 преобразуется в 5 палочек: |||||.

Алфавит:

{ 0, 1, | }

Правила:

1. |0 → 0||
2. 1 → 0|
3. 0 → "" (пустая строка)

Исходная строка:

101

Выполнение:

1. 0|01
2. 00||1
3. 00||0|
4. 00|0|||
5. 000|||||
6. 00|||||
7. 0|||||
8. |||||

См. также

Прочие абстрактные исполнители и формальные системы вычислений

• Машина Тьюринга (автоматное программирование)
• Машина Поста (автоматное программирование)
• Рекурсивная функция (теория вычислимости)
• Лямбда-исчисление (функциональное программирование)
• Brainfuck (императивное программирование)

Ссылки

• Javascript-эмулятор нормальных алгорифмов Маркова (работает on-line)