Ветвящийся процесс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ветвящийся процесс — это случайный процесс, описывающий широкий круг явлений, связанных с размножением и превращением каких-либо объектов.

Термин «ветвящиеся процессы» был предложен А. Н. Колмогоровым в начале 1947 года и в силу своей удачности пришёл в другие языки в виде кальки: англ. branching processes, нем. Verzweigungsprozesse, швед. förgreningsprocesser. По воспоминаниям Б. А. Севастьянова, после появления в США в том же году аналогичных исследований, связанных с разработкой атомного оружия, работы по теории ветвящихся процессов были засекречены на пять лет до хрущёвской оттепели в связи с опасениями, что теория может служить общей моделью неких ядерных цепных реакций, пока академик Я. Б. Зельдович не дал заключение, что работы могут быть опубликованы[1].

Основным аналитическим аппаратом ветвящихся процессов являются производящие функции:

\mathbb{F}(t; s) =  \sum\limits_{n=0}^{\infty}  s^n \mathbb{P}(\mu (t) = n \mid \mu (0) = 1)

Модели[править | править вики-текст]

Первыми рассмотренными моделями был ветвящийся процесс Гальтона — Ватсона (англ.)русск. и марковский ветвящийся процесс. Обобщениями этих двух моделей являются[2]:

Марковский ветвящийся процесс[править | править вики-текст]

Рассмотрим физическую систему, состоящую из конечного числа частиц одного или нескольких типов, в которой каждая частица может, независимо от других, превратиться в одну или несколько других частиц или исчезнуть. Состояние системы (популяция) в момент времени t — вектор количеств частиц каждого типа, выраженных целыми числами. Эволюцию такой системы можно считать стохастической и марковской, а соответствующий процесс — марковским ветвящимся процессом[3].

Марковскими ветвящимися процессами можно описывать различные явления природы: развитие биологических популяций, прохождение элементарных частиц через вещество, распространение эпидемий и т. п.[3]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Колмогоров в воспоминаниях учеников / Ширяев А. Н.. — М.: МЦНМО, 2006. — 472 с. — ISBN 5940571980.
  2. Ватутин, Зубков, 1985
  3. 1 2 Гихман, Скороход, 1973

Литература[править | править вики-текст]

  • Колмогоров А. Н., Дмитриев Н. А. Ветвящиеся случайные процессы // Доклады АН СССР : журнал. — М., 1947. — В. 1. — Т. 56. — С. 7-10.
  • Гихман И. И., Скороход А. В. Часть V. Ветвящиеся процессы // Теория случайных процессов. — М.: Наука, 1973. — Т. II.
  • Ватутин В. А., Зубков А. М. Ветвящиеся процессы. I // Итоги науки и техники. Серия «Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика». — М.: ВИНИТИ, 1985. — Т. 23. — С. 3–67.