Волны Лява

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Волны Лява — упругая волна с горизонтальной поляризацией. Может быть как объёмной, так и поверхностной. Названа в честь Лява (англ. Love) исследовавшего этот тип волн в приложении к сейсмологии в 1911 году[1].

Описание[править | править вики-текст]

Волны Лява имеют горизонтальную поляризацию, а именно в однородной изотропной среде смещение частиц в этой волне перпендикулярно вектору скорости. Если сагиттальную плоскость задать в плоскости (x, z) с осью z, направленной вглубь материала, то они описываются плоской волной с частотой ω вида

U_y=A\textrm{exp}[i(k_tx-\omega t)],

где kt — волновое число, A — амплитуда. Это объёмное решение не представляет интереса. Если полупространство, заполненное однородной изотропной средой, покрыто тонким слоем материала со скоростью звука меньшей, чем в объёме, то возникает поверхностная волна с затухающей амплитудой[2].

Изотропная среда[править | править вики-текст]

В случае изотропной, однородной и идеально упругой среды, заполняющей полупространство z>0, с плотностью ρi, уравнение движения для смещений U можно записать в виде[2]

\rho_i\frac{\partial^2 \textbf{U}^i}{\partial t^2}=\mu_i\Delta\textbf{U}^i, (1)

где для поперечной волны U=(0,Uy,0), индекс i пробегает значения 1 и 2 для тонкого слоя материала толщиной h и для объёмного материала заполняющего пространство z>h. Полное решение этого уравнения зада.тся в виде

U_y^{(1)}=(B\sin{s_1z}+C\cos{s_1z})\exp{[i(kx-\omega t)]}, (2.1)

U_y^{(2)}=A\exp{(-s_2z)}\exp{[i(kx-\omega t)]}, (2.2)

где s_{1}=\sqrt{k_{t1}^2-k^2}, s_{2}=\sqrt{k^2-k_{t2}^2} Из граничных условий отсутствия напряжений на границе двух сред и непрерывности касательных смещений напряжений на поверхности можно получить систему линейных однородных уравнений для амплитуд A, B, C, которые имеют нетривиальное решение при равенстве определителя системы нулю[3]:

\tan{s_1h}=\frac{\mu_2s_2}{\mu_1s_1}, (3)

которое имеет множество решений. Амплитуды смещений описываются выражением:

U_y^{(1)}=A\cos{s_1(z+h)}\exp{[i(kx-\omega t)]}, (4.1)

U_y^{(2)}=A\cos{s_1h}\exp{[i(kx-\omega t)-s_2z]}. (4.2)

Когда скорость звука в поверхностном слое меньше, чем в объёме то уравнение (3) имеет действительные решения лежашие в области k_{t1}>k>k_{t2}. Этих корней тем больше чем больше произведение k_{t2}h. В пределе малой толщины k_{t2}h\rightarrow 0 существует только одна волна Лява[4]:

U_y^{(1)}=A\exp{[i(kx-\omega t)]}, (5.1)

U_y^{(2)}=A\exp{[i(kx-\omega t)-s_2z]}, (5.2)

k=k_{t2}\left[1+\frac{1}{2}k_{t2}^2h^2\frac{\rho_1^2}{\rho_2^2}\left(1-\frac{c_{t1}^2}{c_{t2}^2}\right)\right], (5.3)

s_2=k_{t2}\left(1-\frac{c_{t1}^2}{c_{t2}^2}\right)k_{t2}h\frac{\rho_1}{\rho_2}. (5.4)

Примечания[править | править вики-текст]

  1. A. E. H. Love, «Some problems of geodynamics», first published in 1911 by the Cambridge University Press and published again in 1967 by Dover, New York, USA. (Chapter 11: Theory of the propagation of seismic waves)
  2. 1 2 Викторов И. А., с. 22
  3. Викторов И. А., с. 24
  4. Викторов И. А., с. 25

Литература[править | править вики-текст]

  • Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. — М.: Наука, 1981. — 287 с.
  • Парийский Н. Н., Перцев Б. П. Об определении числа Лява по приливным изменениям вращения сжимаемой Земли // Известия АН СССР. Физика Земли. 1972. № 3. С. 11-14.