Вычислительная устойчивость

Определение

В вычислительной математике большое значение имеет чувствительность решения к малым изменениям входных данных. Задача называется вычислительно неустойчивой, если малые изменения входных данных приводят к заметным изменениям решения. Это отдалённо напоминает непрерывное отображение.

Вычислительная устойчивость, например, решения системы уравнений, можно определить следующим образом: допустим мы решили систему уравнения относительно $x_1,...,x_n$, то есть нашли решение $P(x_1,...,x_n)$. Если мы чуть-чуть поменяем значения на $x_1',...,x_n'$, то новое решение $P'(x_1',...,x_n')$ будет в каком-то смысле близким к решению $P(x_1,...,x_n)$.

Пример 1: cистема уравнений

Дана система двух линейных уравнений: $\left\{\begin{matrix}u + 10v = 11 \\ 100u + 1001v = 1101 \end{matrix}\right.\,\!$

Решением является пара чисел $\left\{ {1;1} \right\}. \,\!$

«Возмутим» правую часть первого уравнения на 0,01 (вместо 11 напишем 11,01) и получим новую, «возмущённую» систему, решением которой является пара чисел {11,01; 0,00}, не имеющая ничего общего с решением невозмущённой системы. Здесь изменение значения одного параметра меньше чем на $0,\!1\% \,\!$ привело к совсем другому решению.

См. также

• Плавающая запятая
• Фиксированная запятая
• Число обусловленности