Гипотеза Зейферта
Гипотеза Зейферта — Опровергнутая гипотеза о векторных полях на трёхмерной сфере.
Формулировка[править | править код]
Верно ли, что у любого векторного поля без особых точек на трёхмерной сфере найдётся периодическая траектория?
История[править | править код]
В своей работе 1950 года Герберт Зейферт доказал[1], что периодическими траекториями обладают -гладкие векторные поля, близкие к единичному касательному полю к расслоению Хопфа; это утверждение получило название теоремы Зейферта. Там же он задал вопрос о том, у любого ли неособого поля на трёхмерной сфере (пусть даже далёкого от поля Хопфа) найдётся такая траектория. Долгое время считалось[2], что ответ на этот вопрос будет положительным (и эта формулировка получила имя «гипотезы Зейферта»), пока в 1974 году Швейцером не был построен -гладкий контрпример[3] (основанный на тех же идеях, что и пример Данжуа).
В 1988 году Дженни Харрисон[4] улучшила пример Швейцера, добившись гладкости , однако её техника не позволяла[2] достичь гладкости . Существование более гладких контрпримеров оставалось неизвестным до 1993 года, когда Кристина Куперберг, используя технику ловушек, не построила -гладкий контрпример (пример Куперберг)[5].
Примечания[править | править код]
- ↑ H. Seifert, Closed integral curves in 3-space and isotopic two-dimensional deformations, Proc. Amer. Math. Soc. 1, (1950). 287--302.
- ↑ 1 2 K. Kuperberg, Aperiodic dynamical systems Архивная копия от 5 июня 2011 на Wayback Machine. Notices Amer. Math. Soc. 46 (1999), no. 9, 1035--1040.
- ↑ P. A. Schweitzer, Counterexamples to the Seifert conjecture and opening closed leaves of foliations, Ann. of Math. (2) 100 (1974), 386--400.
- ↑ J. Harrison, counterexamples to the Seifert conjecture, Topology 27 (1988), no. 3, 249--278.
- ↑ K. Kuperberg A smooth counterexample to the Seifert conjecture, Ann. of Math. (2) 140 (1994), no. 3, 723--732.
Внешние ссылки[править | править код]
- Weisstein, Eric W. Seifert Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Литература[править | править код]
- V. Ginzburg and B. Gürel, A -smooth counterexample to the Hamiltonian Seifert conjecture in (недоступная ссылка), Ann. of Math. (2) 158 (2003), no. 3, 953--976
- G. Kuperberg A volume-preserving counterexample to the Seifert conjecture, Comment. Math. Helv. 71 (1996), no. 1, 70--97.
- G. Kuperberg and K. Kuperberg, Generalized counterexamples to the Seifert conjecture, Ann. of Math. (2) 143 (1996), no. 3, 547--576.
