Заряд (теория меры)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Заряд — вещественнозначная конечно-аддитивная функция множества, определённая на некоторой \sigma-алгебре, (например, борелевских подмножеств).

В отличие от обычной меры, под которой обычно понимают положительную \sigma-аддитивную функцию множества, заряд может принимать и отрицательные значения и не обязательно быть счётно-аддитивным.

При этом термин «заряд» и «конечно-аддитивная мера» — это синонимы.

Множество всех зарядов над произвольным множеством X c сигма-алгеброй \Sigma принято обозначать ba(X,\;\Sigma).

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Положительный заряд \nu\in ba(X,\;\Sigma) называется чисто конечно аддитивным, если для любой положительной счётно-аддитивной меры \mu из 0\leqslant\mu\leqslant\nu вытекает, что \mu=0.
    • Произвольный заряд чисто конечно аддитивен, если таковы заряды \nu^{+} и \nu^{-}.
  • Заряд \lambda абсолютно непрерывен относительно меры \mu , если (\forall A\in \Sigma) ( \mu(A)=0 \to \lambda(A)=0 )

Свойства[править | править исходный текст]

  • Множество всех зарядов образует нормированную решётку и даже, более того, K-пространство.
  • Для любого заряда \nu имеется положительная часть \nu^{+}\geqslant 0 и отрицательная часть \nu^{-}\leqslant 0. Имеет место разложение Хана — Жордана \nu=\nu^++ \nu^-, в силу которого свойства зарядов могут быть выражены в терминах теории меры.
  • Пусть \mu\in ba(X,\;\Sigma).
    Любой заряд \nu единственным образом представим в виде суммы \nu=\nu_{1}+\nu_{2}, где \nu_{1} абсолютно непрерывна относительно \mu и \nu_{2} дизъюнктна \mu. Такое представление меры \nu принято назвать разложением по Лебегу.
  • Любой заряд \nu\in ba(X,\;\Sigma) единственным образом представим в виде суммы \nu=\nu_{ca}+\nu_{pfa}, где \nu_{ca} — произвольная счётно-аддитивная мера, а \nu_{pfa} — произвольная чисто конечно-аддитивный заряд. Такое разложение иногда называют разложением Иосиды — Хьюита.
  • Пространство ba(X,\;\Sigma) является топологически сопряжённым к пространству измеримых и ограниченных функций, заданных над данным измеримым пространством.

История[править | править исходный текст]

Термин «заряд» был впервые введён А. Д. Александровым. Изучение заряда послужило толчком для развития конечно-аддитивной теории меры (40-е года XX века).

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962
  • Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциалов. — М., 1966
  • Халмош П. Теория меры. / Пер. с англ. — М., 1953.
  • Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces I// Матем. сборник 1940. V.8(50), N 2. P.307-348
  • Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces II// Матем. сборник 1941. V.9(51), N 3. P.563-628
  • Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces III// Матем. сборник 1943. V.13(55), N 2. P.169-293
  • Yosida K., Hewitt E. Finitely additive mesures// Trans. Amer. Math. Soc. 1952. v. 72, N 1. P. 46—66